Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
--*-й—^—M—
P / р'г р"/ 2 р P-PVj § 39] ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ СПЛАВОВ
427
от этой диаграммы (без внешних Gm(P)) отлично от нуля и равно
^f -POI2Om (p')-^r. (39.5)
где V — объем системы. (Чтобы получить этот результат, удобно в формулах (39.2) и (39.3) перейти от интегралов по импульсам к дискретным суммам и, выполнив усреднение, совершить обратный переход.)
Нас в дальнейшем будут интересовать значения р, близкие по абсолютной величине к р0. Как и в § 21, Интеграл в выражении (39.5) может быть разбит на две части: по значениям р', далеким от поверхности Ферми, и по значениям, близким к поверхности Ферми (пределы второго интеграла по |р' | могут быть взяты симметричными относительно \р'\-P0).
Интеграл по далеким областям дает действительную константу, которая вместе с и(0) является перенормировкой химического потенциала и может не рассматриваться. Во втором интеграле можно считать и(р—р') медленно меняющейся функцией. Подставляя формулу (7.7) для Gm(p) и суммируя по атомам примеси (это означает просто умножение на число атомов), получаем существенный вклад в G-функцию:
і sign to
где ,
т = WV lM(0)l2dQ (39-6)
(9—угол между векторами р и р'. Согласно (39.6) х есть в борновском приближении время между столкновениями, п — число атомов примеси в единице объема). Отсюда видно, что основную роль в интегралах играет область вблизи поверхности Ферми — р0) — •
С этой точки зрения не все диаграммы являются эквивалентными. Сравним, например, между собой три диаграммы, изображенные на рис. 102,6' (пунктиры соединяют кресты, относящиеся к одному атому). Нетрудно видеть, что в первых двух выражениях интегрирование по р' и р" может производиться вблизи Ферми-поверхности при произвольных углах между импульсами. Наоборот, в третьем интеграле 428
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
требование близости всех аргументов G-функций к поверхности Ферми приводит к ограничению углов. В результате
вклад такого графика оказывается меньшим в Pa3 п0
сравнению с остальными. Так как в дальнейшем нам понадобятся значения їй и где х— время между столкновениями, то малость «пересекающихся» графиков можно
оценить как -Ц-, где I = vi—длина пробега. Pol
Легко показать, что малый вклад дают также диаграммы, содержащие более двух крестов от одного атома примеси. Сравним, например, между собой полный вклад (от всех атомов примеси) диаграмм типа первой диаграммы на рис. 102,6' с диаграммами типа 102,6. Первые диаграммы дают величину порядка
а вторые — величину порядка
1 и» (q) 4 1
T Ро~ —
j" udrр\
(это обстоятельство есть следствие борновского приближения). Отсюда ясно, что мы должны рассматривать только диаграммы, содержащие по два креста на один атом примеси.
Суммируя все существенные диаграммы (т. е. только «парные» и не содержащие «пересечений», наподобие третьей диаграммы рис. 102,6), получаем следующее уравнение для О-функции:
G (р) = Gm (р) +-^Om(P) j \ и(р — р')\20 (p') dp'G (р).
(39.7)
Если отказаться от борновского приближения, то необходимо учитывать диаграммы со многими крестами на один атом примеси. Можно показать, что все изменение, которое при этом возникает, заключается в замене борновской амплитуды и (6) на полную амплитуду рассеяния. Это останется справедливым и для всех дальнейших расчетов. Поэтому во всех формулах под и (б) можно подразумевать полную амплитуду рассеяния. § 39] ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ СПЛАВОВ 429
Решением уравнения (39.7) является: G(p) =-,
со— і — Gto где Gtu удовлетворяет уравнению
Г 1
Il../.. /VlO А
G1.
(2я)3 Л ^ "" со — — Gtl
Полагая Gm чисто мнимым Gto = — i? и вычисляя интеграл в правой части тем же способом, что и в (39.5), находим:
в __ sign ?
Р — ~2Г~'
где і определено формулой (39.6). Сравнивая полученные таким образом G (р) с результатом в случае малого количества примесей (G->G(0)), находим ? = si|" ш или
G(P)=-^T-VT- (39'8>
® — 5-г"
' 2 I со I Z
Переходя к ^-представлению, нетрудно видеть, что все изменение в G по сравнению с Gm сводится к умножению на экспоненциально затухающий множитель
IГ-г' I
G(X-Xr) = Gm(X-Xr)C 21 . (39.9)
Действительно, имеем после интегрирования по углам
G (х — л:') со / pdpd <s> ——--:--оо
ост. I dsdwe-^V-*')-/-jr.—ч--
J
Интегрируя по I и беря вычет, находим (39.9).
Обратимся к вычислению ядра Q (к, ш). Переходя к компонентам Фурье, удобно написать получающееся из (39.1) выражение Q в виде
")=-^4-??-1prW*- P'-)dP'd(39.10) 430
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
где р± — ^pf ± , В (39.10) выделена одна из
фотонных вершин, вторая вершина содержится в П^р+< pjjt
которое с точностью до коэффициента может рассматриваться как результат включения фотонной вершины р^ в электронную линию. Вставляя эту вершину в электронную гриновскую функцию G(p, р'; ш), получаем:
"(Р'+. P-) =
= w/0K »' + тУоК.^-:
(39.11)
Входящие сюда функции G(p, р'\ ш) соответствуют сумме диаграмм на рис. 101 и удовлетворяют уравнению (39.3). При усреднении по расположению атомов примеси надо
