Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Однако уже такие малые концентрации существенно меняют поведение сверхпроводника в магнитном поле. Интересно, что при этом его термодинамические свойства, как это и подтверждает эксперимент, практически не отличаются от свойств чистого сверхпроводника.
Обычные методы, использующие кинетическое уравнение, с помощью которого изучается, например, остаточное сопротивление нормального металла, оказываются непригодными для решения поставленного выше вопроса. Поэтому мы ниже вновь обратимся к методам квантовой теории поля.
2. Остаточное сопротивление нормального металла.
С целью сделать наше дальнейшее изложение наиболее понятным, мы сформулируем используемую ниже технику на примере вычисления остаточного сопротивления нормального металла с примесями при температуре абсолютного нуля 424
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
(Абрикосов и Горьков [68], Эдварде [69]). Разумеется, получающиеся результаты в этом случае совершенно эквивалентны общеизвестным результатам, найденным с ,помощью метода кинетического уравнения.
Как известно, наличие примесей приводит в нормальном металле к конечной проводимости о, так что плотность тока j в приложенном однородном электрическом поле E при достаточно малых частотах дается формулой
j = cE.
дА
Вводя векторный потенциал А (t) обычным образом, E=--,
можно представить это соотношение в следующем виде (для монохроматической компоненты поля):
Jw = IwaAw.
В таком виде это соотношение совпадает с (37.3')- Ядро Q (k, w) в данном случае просто равно
Q(k, ш) = — Iwа.
Ниже мы будем определять Q (k, со) методами квантовой теории поля.
Учитывая разницу в определении гриновских функций в полевой технике при абсолютном нуле и в технике при Тф 0, вместо (37.5) получим:
ie Ne2 j(X) = — (Рґ— Pr) G(x, х')--TTa(X)
(p = -N).
Разлагая функцию G (х, х') обычным образом до линейных по полю членов, получим:
-^(Pr'-Pr) f (А(У), Pr-Py)G(0)(x, у')Х
X О(0) (У, *0 d*y -~г А (X). (39.1)
В этом соотношении функции G(0\x, у) суть функции Грина нормального металла в отсутствие поля. Заметим, что эти величины уже зависят не только от разности аргументов X — у, как это было всюду до сих пор; в функциях G(0)(x, у) § 39] теория сверхпроводящих сплавов 425
мы считаем учтенным взаимодействие электронов с атомами примесей. (В дальнейшем мы будем функции Грина металла с примесями обозначать через G (х, у) и т. д. (без значка), соответствующие функции чистого металла — через G(0)(jc, у) и т. д,) Взаимодействию электронов с атомами примеси соответствует гамильтониан
НШ = 2 На<
а
Ha = f u(r~ra)^ (x) ф (x)dr.
Прежде чем продолжать дальнейшее преобразование (39.1), найдем функцию G(x, х').
При наличии примесей функция Грина не совпадает с выражением (7.7). Напишем ее в виде
G(x, x') = (2tz)~* J G(J), р'\ т)е1рг-1р'г'dpdp' du.
(39.2)
Функция G(p, р'; ш) выражается по известным правилам теории поля как сумма диаграмм, изображенных на рис. 101. Каждой линии соответствует G(0\p). Примесную вершину
- — - + -к--(- —X—к— + •¦¦»
р р' ftp-p'j р р' р р" р'
Рис. 101.
мы будем обозначать крестиком. Ей соответствует множитель, равный u(q)e!irab(va — ш'), где и (q) — фурье-компонента потенциала и (г), a q — передаваемый импульс.
Суммирование диаграмм приводит к интегральному уравнению Для G(p,p'\ со):
О (p. р'\ co)=S(p-p')G(0)(p) +
•+ w" 2 °(0> {р) Iи(р е' ip^Га 0 {р"-рГ''ш) dp"-
(39.3)
Нас не интересует точное решение (39.3). Поскольку атомы лримесей хаотически распределены по металлу, мы должны усреднить все выражения по положению каждого атома 426
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
примеси. При этом существенно, что в силу нашего предположения о малости атомной концентрации среднее расстояние между атомами примесей гораздо больше атомных расстояний в решетке металла, благодаря чему усреднение может производиться в объемах, с размерами, большими по сравнению с межатомными расстояниями. После такого усреднения функция Грина 0(р, р'\ си), очевидно, примет вид
О (р. р'\ си) = G (р) Ь (р —р'). (39.4)
Интересующие нас импульсы р, р' имеют величины порядка граничного фермиевского импульса р0, который в свою очередь имеет порядок обратных межатомных расстояний. Это обстоятельство сразу облегчает выполнение усреднения.
а; —*-н- —»- —УС-4«-
P Р" P' P Р" P
tfi-*—*—*-к- ; -Л—*-—*—к-
р 1р' / P 2 р"2 р р?р'2р"2р'1
Рис. 102.
Мы произведем вычисления в борновском приближении,
т. е. будем предполагать pl J и (r)dr Можно показать,
что окончательные результаты, выраженные через время столкновений, будут справедливы и в общем случае.
Простейшая диаграмма для 0(р, р'\ ш) содержит всего один крест. Усредненное значение по положению атома примеси есть постоянная и (q) eiqr<1 = и (0), которую можно включить в энергию основного состояния и в дальнейшем считать равной нулю. Следующая по сложности диаграмма содержит два креста (рис. 102, а). Если эти кресты относятся к разным атомам, то матричный элемент содержит множитель и(р" — р')и(р—ії')еіір-р")га+і{р"-р')гь, среднее от которого равно нулю. Если в обоих крестах рассеяние происходит на одинаковых атомах и р=р', то среднее значение
