Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вводя компоненты Фурье термодинамических величин, найдем, что роль ядра Qap(k, ш0) играет следующее выражение:
P2N
Q.?(ft. "J = 1^rK9-P^i*- %).
где частоты ш0 пробегают дискретные значения u>0=2tir,T, Мы покажем сейчас в общем виде, что компоненты Фурье P%(k, ш) и ^iap(A, (O0) суть значения одной и той же функции комплексного переменного о), аналитической в верхней полуплоскости, взятые в первом случае на вещественной оси, а во втором — в точках со = Доказательство проводится совершенно так же. как это уже делалось в предыдущих главах. Разложим (37.21) и (37.22) в суммы по промежуточным состояниям. Тогда для компоненты Фурье, определенной соответствующим об_ азом в случае P^ и находим:
Р% (ft, + ¦
" (37.23)
(ft, (O0) = - S (*) toB_l -
т, р
где
а+^Nm-Em / <оря,\
Ppm (ft)= е Т U - Г I(JaI)mp(Jtl)pm (2u)3 5(ft - kpm).
Из (37.23) видно, что P^ (ft, ">) получается из ^0ap (ft, <u0) заменой Oi0 на — ш, причем на вещественной оси значения P%(k, w) должны выбираться как предел при стремлении w сверху.
Таким образом, вычисляя в технике Мацубары ш0)
и аналитически продолжив ее на вещественные частоты § 37] СВЕРХПРОВОДНИК В СЛАБОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 41!
P%(k, и)) = ff" ^(ft, —/ш) так, чтобы возникающая функция не имела особенностей в верхней полуплоскости tu, принципиально можно найти ядро Qap (ft, ш), определяющее связь j с А в переменном электромагнитном поле.
Имея в виду эту цель, рассмотрим формально уравнения для термодинамических функций © и J+ в переменном по т поле вида А (Г, r)=A(k, ш0) еІЬг-іш'-. Вместо (37.11) выражение для компоненты Фурье тока У (ft, ш0) примет теперь вид
у (ft, P(pA(k, u>o))[®(/>+) ©(/>_) +
<l>
+ b(P+)%+(P-)\dp C0)
(здесь /7±=|р±у; u/±yj). Повторяя весь ход рассуждений, которые в случае постоянного поля привели нас к выражению (37.15), получим после интегрирования по
+і
Qik. «>0) = ^2 / О-V)^ X
ш' -1
[ і(m+ + У^+ё?)[І(<¦>_ + -ріk| J + д2
+ [і (.+ + У + а2 I
Как и выше, для дальнейшего упрощения этого выражения следует сделать некоторые допущения о величине V I ft |. Мы ограничимся ниже практически наиболее интересным случаем, когда v\k\ iTc, (u0). В этом случае по-прежнему основной вклад в выражение для Q (ft, ш0) вносит область углов, Tr ш'
где ----гЬ . —гтт . и потому в числителе под интегралом можно
1 v\k\ t»|A|
пренебречь [л2 по сравнению с единицей. Остающееся выраже-
Tr а>'
ниє в фигурных скобках убывает при [х ^ , несколько медленнее по сравнению со случаем 7=0, а именно, как 1/р.. 412 ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ [гл. VII
Поэтому целесообразно сделать в (37.24) перегруппировку членов, выделив эти, более медленно убывающие члены:
Q (к. (U0) =
=ыу fd { У^ТТ^К».+
4 ^J *j+A2R + A2+(*[%-<•
А2-^, + Уо>2_ + Д2) (m+ + УйїТІЇ)
VvlT^ R 4-А2 4- iV^L + Z)2} _ <->+ + Ум+ + A2__
~~1 V^T+T2 [tV^r+д5 + У^Тд5)]
<0_ + Vcu2. -f Д2 I
+' У ^Г+Д5 [<>№ +'( У ^T** + У i^TAf)] )"
Выполняя интегрирование и переходя к пределу v\k\~>oo, получим:
Q (ft. шо) = 2а
ш'
При (U0 = O этот результат переходит в (37.18).
Поскольку при суммировании в (37.25) ш пробегает значения а) == (2я-f-1)кТ, Q(k, (U0) можно представить в виде контурного интеграла:
-Z. ,, . Зя/ С , »' ( , . Д2- (I)' (»' - МЛ) 1 ,
Q ft. ®о) = ша / 'go? '+,/-і—-/
2/ { V о)' + Д2 Vr(со' — О)0)2 + Д2 J
(37.26)
где контур С состоит из двух частей С+ и приведенных на рис. 98. Выбор аналитических ветвей функций У(і/2-|~Д2 и V(O)' — понятен из этого же рисунка: на разрезах
значения этих функций чисто мнимые, причем на правой стороне верхнего разреза и на левой — нижнего мнимая часть положительна. Перейдем от интегрирования по контурам С+ и С_ к интегрированию по четырем контурам С+'2) и С(1'2> (рис. 99). Легко видеть, что интегралы по
С? и С(1>, рассматриваемые формально как функция (O0, име'от особенности
1 +
— м (со — (O0)
У о/2 + Д2 V^' — <->о)2 + A2
.(37.25) § 37] СВЕРХПРОВОДНИК В СЛАБОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 413
при (U0 = (2га 1) тТ, поскольку в данном случае контур интегрирования проходит через точку U)'= (2га+ 1) U 7',
где tg^ обращается в бесконечность. Поэтому, чтобы определить ветвь функции, аналитической в верхней полуплоскости переменной
: Zw0, надо так преобразовать выра- .?+_
и
I UL1Tld
С.
\-/А IOJ0-ZA
Рис. 98.
жеиие (37.26) при частных значениях ш=2гатс7/, чтобы в дальнейшем при распространении этого выражения на произвольные значения ш контур интегрирования не проходил через особенности подынтегрального выражения. Для этого заметим,
что если (U0= 2гатс7, то в силу периодичности tg^ интеграл по контуру O- равен интегралу по контуру Ct+ (и то же
самое для контуров С\' и В справедливости сказанного
\
aj
(-) /Л
\J
Ф
m-oj)
« • • •
OJif-T I'd
-id r\
і+)/ V1
Рис. 99.
-t&l+e>Jj
+)(-1
Рис. 100.
П
легко убедиться, заменяя, скажем, в интеграле по контуру С(2) переменную интегрирования cu' — iu0= — и. Поэтому (37.26) можно написать в виде
