Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.
Скачать (прямая ссылка):
п — 1 п — 1 **
1
и
1 "
і ~ 1
Появление перед знаком суммы множителя 1 /(« —J) вместо Hn связано с тем, что на п случайных величин (Xi — <х>) наложена
п
одна связь У (xt — (х;) = 0, поэтому независимых случайных величин п —• 1.
Заметим, что при выводе выражения (1.36) не вводилось никаких предположений о характере распределения величины х, т. е. оценка дисперсии справедлива для любых распределений.
В случае только одного измерения величины X выборочное среднее <х> = X. При этом дисперсия оказывается неопределенной, поскольку неизвестен разброс экспериментальных данных. Например, для распределения Гаусса дисперсия является независимым параметром, никак не связанным со средним значением. Однако, если ссть основания предполагать, что распределение есть распределение Пуассона, а в ядерной физике это бывает часто, то наилучшей оценкой величины а2 будет
а2~<х>~х. (1.37)
Погрешность выборочного среднего значения о(х). Как упоминалось выше, обычно целью серии из п независимых измерений X1, х2, ..., хп какой-либо физической величины X является нахождение ее выборочного
среднего (х) и определение вероятности того, что выборочное среднее отличается от истинного среднего H меньше, чем на некоторое заданное значение. В качестве такой величины, как правило, выбирается среднеквадратическая (или стандартная) погрешность среднего значения 0(Х)*.
* Иногда в литературе значок <л'> у Cti,^ опускают, что приводит к путанице, так как среднеквадратическое отклонение распределения также обо-
значается ст.
23 Ранее было показано, что точность оценки fx по выборочному-среднему <х> возрастает пропорционально Yn (1.32). Центральная предельная теорема статистики позволяет сделать заключение о распределении <х). Она утверждает, что если случайная величина имеет среднее значение Ц и конечную дисперсию а, то при стремлении объема выборки п к бесконечности* распределение выборочного среднего <х> будет стремиться к нормальному со средним H и дисперсией O2In. Ясно, что при этом распределение X вовсе не обязано быть нормальным. При малых п (выборках небольшого объема) распределение выборочных средних всегда более близко к нормальному, чем распределение исходных событий.
Стремление <х> к нормальному распределению позволяет определить среднеквадратическую погрешность выборочного среднего о(х) как корень квадратный из дисперсии распределения выборочных средних. По определению
O(X) = OlY tl,
где п — число измерений; о — среднеквадратическое отклонение распределения х. Для вычисления среднеквадрэтической погрешности заменяют неизвестное значение стандзртного отклонения его выборочным значением по (1.36). Тогда
(1-38)
Сравнение (1.36) и (1.38) ясно показывает принципиальную раз ницу между о и 0(Х). Увеличение числа измерений приводит к уменьшению среднеквадратической погрешности Ow среднего значения <х), в то время как стандартное отклонение определяется самим физическим процессом и не зависит от числа измерений. Иными словами, увеличивая число замеров, можно получить выборочное среднее <х>, отличающееся от истинного сколь угодно мало, но при этом отдельные замеры будут флуктуировать пропорционально дисперсии, и при больших дисперсиях эти флуктуации весьма значительны. Например, легко можно измерить средний интервал времени между двумя отсчетами <0 = Vn со среднеквадратической погрешностью, меньшей 10 "4, в то время как вероятность наблюдать при отдельном замере интервал, в два раза и более превосходящий средний, равна 0,134.
Нормальность распределения <х> около (д, важна для понимания смысла часто используемой физиками записи результатов измерений величиных: <х> + ow. Такая запись означает, что с вероятностью 0,68 неизвестная величина |х (истинное среднее), находится в интервале <x>±ow. Эта вероятность повышается до 0,95, если интервал увеличивается до <х> ± 2Gw.
* Практически всегда достаточно, если п > 30. Если распределение случайной величины х, для которой получено <х> и о(х), отличается от нормального и неизвестно, то задание этих двух величин недостаточно для характеристики надежности измерений. Необходимо определить еще так называемую доверительную вероятность или надежность оценки а, которую принято задавать следующим образом:
P «х> — Ax < |д, < <х> -{- Ах) = а. (1.39)
Выражение (1.39) означает, что с вероятностью а истинное среднее величины X не выходит за пределы доверительного интервала с доверительными пределами <х> + Ах, <х) — Ах.
Значение Ax в зависимости от требований к эксперименту и характера распределения х выбирают равным 0(*>; 2о<Х) или даже 3o(c). Ясно, что задание значения доверительной вероятности, так же как и доверительного интервала, в известной мере произвольно.
Для некоторых часто встречающихся статистических распределений, таких, как распределение Пуассона или Гаусса, составлены подробные таблицы доверительных интервалов. Эти таблицы приводятся в курсах математической статистики и используются для анализа соответствия различных гипотез экспериментальным данным.
