Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Систематические погрешности характеризуют точность градуировки и юстировки аппаратуры, смещение шкал приборов и т. п. Систематические погрешности возникают, например, при использовании неверного значения эталонной величины при неправильном учете внешних факторов, влияние которых на процесс измерения можно рассчитать. Если источник систематической погрешности (например, неверное значение сечения «стандартной» реакции) обнаружен, то соответствующая поправка, как правило, легко вводится. Возможность исключения систематической погрешности и является ее характерным признаком. Но обычно обнаружить постоянную (или медленно меняющуюся систематическую) погрешность трудно. Решающей проверкой является сопоставление результатов измерений одной и той же величины, полученных в нескольких принципиально отличающихся экспериментах.
Статистическая погрешность характеризует воспроизводимость результатов наблюдений после устранения систематических погреш-
20 ностей. Их нельзя исключить в каждом ?из результатов измерений.
В этой главе рассмотрим только статистические характеристики экспериментальных данных, хотя в последнее время методы статистики начинают использоваться для выявления и исключения систематических погрешностей.
Если целью эксперимента является определение какой-то физической величины X по п ее отдельным измерениям X1, X2, ..., Xn, то результат измерений можно охарактеризовать с помощью нескольких статистических параметров. Как правило, в качестве таких статистических параметров принимают:
1) наиболее правдоподобное значение х, в качестве которого используется выборочное среднее значение-,
2) дисперсию распределения отдельных значений измеряемой величины около ее выборочного среднего, т. е. выборочную дисперсию-,
3) погрешность выборочного среднего, зная которую можно, задаваясь доверительной вероятностью, вычислить доверительные пределы;
4) при измерении двух и более случайных величин коэффициенты корреляции.
В любой конечной серии измерений нельзя определить точно ни истинное среднее значение |1, ни дисперсию о2, ни другие моменты функции распределения случайной величины. Рассмотренные ранее функции распределения описывают генеральные совокупности, т. е. гипотетический полный набор всех возможных значений, которые может принимать случайная величина.
В эксперименте всегда имеют дело с выборкой — конечным числом значений случайной величины. Цель статистического анализа— указать методы, с помощью которых можно было бы получить оценки неизвестных параметров генеральной совокупности и их погрешности, которые в свою очередь являются случайными величинами.
Рассмотрим статистические параметры.
Выборочное среднее значение <х>*. Для" большинства статистических распределений, включая все рассмотренные в этой главе, наиболее правдоподобная оценка истинного среднего случайной величины X есть арифметическое среднее
1 "
<*> = — "V Xi-^1 (1.29)
п
I— 1
где п — число замеров.
* В литературе выборочное среднее иногда обозначают также ~х. Во избежание путаницы в этой главе обозначение х оставлено за истинным средним je^fx (усреднение по генеральной совокупности), <х>—за выборочным Средним (усреднение по конечной выборке).
21 С увеличением числа замеров <х> все более приближается к и-Математическое ожидание выборочного среднего
1 /л
M((X)) = -M V хг j = = (1-30)
п ' = I ; Дисперсия выборочного среднего*
а так как дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых, то
D((X)) = -D(Xi). (1.32)
п
Из выражения (1.32) очевидно, что выборочное среднее <х> при больших п является значительно более точной оценкой И> чем отдельное значение Xi, так как <х> обладает меньшим разбросом относительно истинного среднего.
Точность оценки определяется выражением
a ((X)) = а (Xi)ZVп, (1-33)
которое показывает, что точность возрастает пропорционально Vn. Это очень важное соотношение справедливо для любых распределений.
Выборочная дисперсия s2. В выражениях (1.32) и (1.33) предполагалось, что дисперсия распределения величины X известна. На самом деле можно определить лишь выборочную дисперсию.
Оценка S2 истинного значения дисперсии а2 должна основываться на выборочном среднем значении (х)и конечном наборе результатов отдельных измерений. В таком случае выражение для выборочной дисперсии S2 получается из выражения для а2 (1.4) заменой '(д, на <х> и переходом от усреднения по генеральной совокупности к усреднению по конечному числу п измерений
s2= — 2 (*.—<*»2- (1-34) л 11
Введем подстановку (Xi—<х» = [(Xi — и) — ((х> — Тогда из (1.34) легко получить следующее выражение:
— І [(Xi-^-((X)-Ii)2].
* Из определения дисперсии легко получить, что D (CX) = C2D (л), если с = const.
22 Отсюда, учитывая (1.33), математическое ожидание выборочной дисперсии
M (s2) = а2 — о2,'п = а2 [(л — 1)/«]. (1.35)
Следовательно, наилучшая оценка истинной дисперсии а2, выраженной через результаты конечного числа п измерений случайной величины х, имеет следующий вид:
O2 ^S2-= -i- У (х; -<х»2, (1.36)
