Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрамов А.И. -> "Основы экспериментальных методов ядерной физики" -> 7

Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.

Абрамов А.И. , Казанский Ю.А., Матусевич Е.С. Основы экспериментальных методов ядерной физики — М.: Атомиздат , 1977. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): osnoviexperementalnihmetodovyader1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 232 >> Следующая


р(*)="(і/аУ2ЇЇ) ехр [-—(х—fx)2/2cra]. (1.24)

В отличие от своего частного случая (1.23) распределение Гаусса зависит от двух параметров ця о. Распределение (1.24) при различных H и а приведено на рис. 1.3.

* Подробнее предельный переход распределения Пуассойа рассмотрен в учебнике [1, гл. 1, с. 258].

17 Как ясно из введенных обозначений, среднее значение для распределения Гаусса должно быть равно |i, а дисперсия — а2. Покажем это. По определению

X —

г~1/2г

¦ехр

2а2

dx —

= —~ (at+ 11) ехр { — t-/2) dt,

J ~1/2тх

-OO

где t = (x — ji)/cr. Так как интеграл от нечетной функции в пределах от —оо до +оо равен нулю, а распределение Гаусса нормировано, то

X=H

V2

— ехр ( —t2/2) dt = її.

(1.25)

Такой же подстановкой и интегрированием по частям найдем дисперсию

D

(х—а)'2

—ЬЬ- exP аУ2л

(*-|*)8

2а2

dx -

о2 /2

у 2ЇХ

ехр (— /2/2) dt -

¦ er

t ехр (— /2/2)

У2ЇЇ

— ехр( —/2/2)dt = o2. (1.26)

Поскольку распределение Гаусса симметрично относительно среднего, то для него 7 = 0.

Часто используют представление распределения (1.24) в функции переменной t = (х — jla)/ct, тогда

"(/) = ( 1/]/"2я) ехр (— 2).

(1.27)

В таком представлении распределения Гаусса его среднее значение равно нулю, а стандартное отклонение — единице. Для функции (1.27) в справочниках и руководствах (см., например, [2.4]) приводятся подробные таблицы*. Распределение Гаусса является хорошим приближением для описания широкого круга статистических процессов. В ядерной физике выражение (1.24) описывает, например, распределение углов упругого рассеяния при прохождении заряженной частицы через вещество, распределение пробегов тяжелых заряженных частиц в веществе, распределение импульсов по ампли-

* Интеграл от (1.27) P (I)

У2л — со

вероятности и также подробно затабулирован.

Г ехр (—/2/2)dt называется интегралом

18 тудам при регистрации заряженных частиц полупроводниковым детектором и т. д.

Распределение Гаусса часто служит хорошей аппроксимацией для флуктуаций, вызванных не только статистическими случайными процессами. Так, распределение амплитуд импульсов на выходе сцинтилляционного счетчика, облучаемого а-частицами, описывается с хорошей точностью формулой (1.24), хотя часть эффектов,

Рис. 1.4. Распределение Гаусса: 1 — равномерное распределение с а= 1, 0 = 1; 2 — распределение суммы двух независимых величин, каждая из которых равномерно распределена в интервале 0—1; 3— распределение суммы трех независимых величин, каждая из которых равномерно распределена в интервале 0—I; 4, 5, в — распределение Гаусса с д = 1/2; I и 3/2 н 0=1/12; 1/6; 1/4 соответственно

обусловливающих флуктуации амплитуды, такие, как потеря света в сцинтилляторе, колебания усиления фотоумножителя, этой формулой и не описываются.

Распределение Гаусса широко используется при анализе погрешностей эксперимента. Широкое применение нормального распределения в теории ошибок измерений основано на доказываемом в теории вероятности утверждении о том, что случайная величина, являющаяся суммой очень большого числа случайных величин с практически произвольным распределением, распределена согласно (1.24), т. е. условия для использования нормального закона распределения при описании экспериментальных данных возникают в тех случаях, когда исследуемую случайную величину можно представить в виде суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) элементарных слагаемых, каждсе из которых срев-нительно мало влияет на с\мму. Такая ситуация характерна для

19 любых сколько-нибудь сложных экспериментов. Проиллюстрируем сходимость к нормальному распределению на простом примере суммы случайных величин, подчиняющихся равномерному распределению. Легко видеть, что распределение суммы z двух независимых случайных величин х и у, имеющих распределение ф (х) и q (у), будет определяться интегралом

OO OO

р(г)= J ф [x)q{z—x)dx = JJ ф {z — y)q(y)dy. (1.28)

-OO - OO

Эта операция называется сверткой распределений ф (я) и q (у). Если исследуемая величина г есть сумма трех и более случайных величин, то ее распределение можно получить последовательной сверткой.

Равномерное распределение с а = 1 и b = 1 и распределения суммы двух и трех случайных величин, принадлежащих такому же распределению, даны на рис. 1.4. Для сравнения на этом же рисунке приведено распределение Гаусса со средними значениями 1/2; 1 и 3/2 и дисперсиями соответственно равными 1/12; 1/6; 1/4. Площади под соответствующими кривыми нормированы.

Видно, что сумма всего трех случайных величин, распределения которых далеки от нормального, хорошо аппроксимируется распределением Гаусса с соответствующим средним и дисперсией.

§ І.З. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ

ДАННЫХ

Разность между измеренным значением исследуемой величины и ее истинным значением называют погрешностью измерения, или погрешностью измеренной величины. При оценке достоверности результатов измерений различают две принципиально разные группы погрешностей: систематические (или калибровочные) и статистические (или случайные).
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 232 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed