Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.
Скачать (прямая ссылка):
р(*)="(і/аУ2ЇЇ) ехр [-—(х—fx)2/2cra]. (1.24)
В отличие от своего частного случая (1.23) распределение Гаусса зависит от двух параметров ця о. Распределение (1.24) при различных H и а приведено на рис. 1.3.
* Подробнее предельный переход распределения Пуассойа рассмотрен в учебнике [1, гл. 1, с. 258].
17 Как ясно из введенных обозначений, среднее значение для распределения Гаусса должно быть равно |i, а дисперсия — а2. Покажем это. По определению
X —
г~1/2г
¦ехр
2а2
dx —
= —~ (at+ 11) ехр { — t-/2) dt,
J ~1/2тх
-OO
где t = (x — ji)/cr. Так как интеграл от нечетной функции в пределах от —оо до +оо равен нулю, а распределение Гаусса нормировано, то
X=H
V2
— ехр ( —t2/2) dt = її.
(1.25)
Такой же подстановкой и интегрированием по частям найдем дисперсию
D
(х—а)'2
—ЬЬ- exP аУ2л
(*-|*)8
2а2
dx -
о2 /2
у 2ЇХ
ехр (— /2/2) dt -
¦ er
t ехр (— /2/2)
У2ЇЇ
— ехр( —/2/2)dt = o2. (1.26)
Поскольку распределение Гаусса симметрично относительно среднего, то для него 7 = 0.
Часто используют представление распределения (1.24) в функции переменной t = (х — jla)/ct, тогда
"(/) = ( 1/]/"2я) ехр (— 2).
(1.27)
В таком представлении распределения Гаусса его среднее значение равно нулю, а стандартное отклонение — единице. Для функции (1.27) в справочниках и руководствах (см., например, [2.4]) приводятся подробные таблицы*. Распределение Гаусса является хорошим приближением для описания широкого круга статистических процессов. В ядерной физике выражение (1.24) описывает, например, распределение углов упругого рассеяния при прохождении заряженной частицы через вещество, распределение пробегов тяжелых заряженных частиц в веществе, распределение импульсов по ампли-
* Интеграл от (1.27) P (I)
У2л — со
вероятности и также подробно затабулирован.
Г ехр (—/2/2)dt называется интегралом
18 тудам при регистрации заряженных частиц полупроводниковым детектором и т. д.
Распределение Гаусса часто служит хорошей аппроксимацией для флуктуаций, вызванных не только статистическими случайными процессами. Так, распределение амплитуд импульсов на выходе сцинтилляционного счетчика, облучаемого а-частицами, описывается с хорошей точностью формулой (1.24), хотя часть эффектов,
Рис. 1.4. Распределение Гаусса: 1 — равномерное распределение с а= 1, 0 = 1; 2 — распределение суммы двух независимых величин, каждая из которых равномерно распределена в интервале 0—1; 3— распределение суммы трех независимых величин, каждая из которых равномерно распределена в интервале 0—I; 4, 5, в — распределение Гаусса с д = 1/2; I и 3/2 н 0=1/12; 1/6; 1/4 соответственно
обусловливающих флуктуации амплитуды, такие, как потеря света в сцинтилляторе, колебания усиления фотоумножителя, этой формулой и не описываются.
Распределение Гаусса широко используется при анализе погрешностей эксперимента. Широкое применение нормального распределения в теории ошибок измерений основано на доказываемом в теории вероятности утверждении о том, что случайная величина, являющаяся суммой очень большого числа случайных величин с практически произвольным распределением, распределена согласно (1.24), т. е. условия для использования нормального закона распределения при описании экспериментальных данных возникают в тех случаях, когда исследуемую случайную величину можно представить в виде суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) элементарных слагаемых, каждсе из которых срев-нительно мало влияет на с\мму. Такая ситуация характерна для
19 любых сколько-нибудь сложных экспериментов. Проиллюстрируем сходимость к нормальному распределению на простом примере суммы случайных величин, подчиняющихся равномерному распределению. Легко видеть, что распределение суммы z двух независимых случайных величин х и у, имеющих распределение ф (х) и q (у), будет определяться интегралом
OO OO
р(г)= J ф [x)q{z—x)dx = JJ ф {z — y)q(y)dy. (1.28)
-OO - OO
Эта операция называется сверткой распределений ф (я) и q (у). Если исследуемая величина г есть сумма трех и более случайных величин, то ее распределение можно получить последовательной сверткой.
Равномерное распределение с а = 1 и b = 1 и распределения суммы двух и трех случайных величин, принадлежащих такому же распределению, даны на рис. 1.4. Для сравнения на этом же рисунке приведено распределение Гаусса со средними значениями 1/2; 1 и 3/2 и дисперсиями соответственно равными 1/12; 1/6; 1/4. Площади под соответствующими кривыми нормированы.
Видно, что сумма всего трех случайных величин, распределения которых далеки от нормального, хорошо аппроксимируется распределением Гаусса с соответствующим средним и дисперсией.
§ І.З. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ДАННЫХ
Разность между измеренным значением исследуемой величины и ее истинным значением называют погрешностью измерения, или погрешностью измеренной величины. При оценке достоверности результатов измерений различают две принципиально разные группы погрешностей: систематические (или калибровочные) и статистические (или случайные).
