Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Как можно было догадаться из введенного обозначения, среднее значение k для распределения Пуассона равно [х. Действительно,
_ 00 k 00 а— 1
k = 2 k jV ехр = 2 ctn!exp(-(x)==
k=o ' k=\ ^
= H ? Hs6-^pW (1.15)
s = 0
Заметим, что введенная ранее величина п = [дJt [см. (1.13) и (1.14)] имеет смысл средней интенсивности, т. е. среднего числа отсчетов в единицу времени.
Вычислим дисперсию для распределения Пуассона. Сначала определим
te- = 2 Ik(k — і) + k] Hftехр(~^ =
a=o k'
= [12 у ft_2 ехМ-и) а
f . (А—2)2
Согласно (1.4) D (k)= k2 — ji2- Следовательно,
D(Ze) = н; a(?) = "|/jr, (1.16)
т. е. дисперсия равна среднему значению, а стандартное отклонение— корню из среднего.
Можно показать, что асимметрия распределения Пуассона, равная 1/^ji' всегда положительна и стремится к нулю с ростом fi-Другими словами, с ростом распределение становится все более и более симметричным.
Распределение длительности интервалов. Рассмотрим случайный процесс, описываемый распределением Пуассона, например работу сцинтилляционного счетчика, облучаемого источником с малой и постоянной интенсивностью*, и получим выражение для
* Предположение о малой интенсивности возникает из необходимости пренебрежения мертвым временем счетчика.
15 распределения длительности временных интервалов между последовательными отсчетами.
Пусть средняя скорость счета — п отсчетов в единицу времени. Выберем произвольный начальный момент* t = 0. Ближайший отсчет произойдет между моментами t и t -т dt, если в течение t отсчета не будет, а в течение dl произойдет один отсчет.Так как отсчеты независимы, то искомая вероятность того, что длительность интервала лежит между t и t + dt, єсть произведение вероятности первого события ехр (—tit) на вероятность второго ndt. Следовательно, р (t)dt = п dt ехр (—tit), откуда получаем распределение длительности интервалов:
р [t) = її ехр (—пі). (1.17)
Видно, что при увеличении t вероятность того, что в интервале dt отсчет будет первым, экспоненциально падает. Чем меньше интервал между событиями, тем больше вероятность наблюдать такой интервал. Распределение интервалов описывает не только временные распределения (отсчеты счетчика, время жизни нестабильных частиц), но и распределения пространственных интервалов, например распределение так называемых б-электронов вдоль следа ионизирующей частицы: необходимо только в выражении (1.17) время между последовательными отсчетами заменить на отрезок I между соседними б-электронами.
Среднее значение длительности интервала легко вычисляется интегрированием по частям
OO
= /ехр(—nt)dt= \jn. (1.18)
о
Аналогично вычисляется и дисперсия
OO
D = n J {t— 1/п)2ехр(—nt)dt= 1/tt2. (1.19)
о
Заметим, что дисперсия распределения интервалов велика, она равна квадрату среднего значения, в то время как дисперсия для распределения Пуассона равна среднему. Относительное квадратичное отклонение распределения интервалов б постоянно и равно единице для любого п. Большая дисперсия означает, что длительность интервала между последовательными событиями с большей вероятностью, не зависящей от средней интенсивности, может сильно отличаться от своего среднего.
* В силу независимости отсчетов в неперекрывающихся интервалах выбор начала отсчета не влияет на последующие выводы. В частности, начало отсчета может совпадать с каким-либо импульсом.
16 Равномерное (равновероятное) или прямоугольное распределение. Если все значения случайной величины в интервале от а до & равновероятны, то
р(х) = 0 при X < а, X > b\ } ^
p(x) = \j{b — а) при a ^ х ^ Ь. j
Такое распределение встречается, например, при анализе формы линии в некоторых типах спектрометров; оно описывает энергетическое распределение ядер отдачи при упругом рассеянии нейтронов. Прямоугольное распределение часто используется для качественного анализа статистических процессов.
Для прямоугольного распределения ь
y.--^\xdxl(b — a) = (b—a)l2\ (1.21)
а
Ь
D = ^(X-Ii)2 dx,(b — a) = (b—а)3/12. (1.22)
•л
Относительное среднеквадрэтическое отклонение не зависит от среднего и равно И'У 3.
Распределение Гаусса (нормальное). Наиболее важным распределением, встречающимся в статистике, является распределение Гаусса (нормальное). Оно имеет вид симметричной колоколообразной кривой, распространяющейся до бесконечности в положительном и отрицательном направлениях. Частный случай распределения Гаусса с одним параметром можно получить предельным переходом (при JX -> оо) из распределения Пуассона. В этом случае асимметрия распределения Пуассона стремится к нулю (как l/]Aji). Заменяя k\ в формуле (1.14) его приближенным выражением, справедливым при больших k, используя то обстоятельство, что при росте Ji относительная ширина распределения Пуассона уменьшается (6=1/]/JI), можно получить* функцию распределения в следующем виде:
p(k) = (l/K^tjl) ехр [ — (k—[х)2/2|х]. (1.23)
В этой формуле k — непрерывная случайная величина; р (k), как обычно, имеет смысл плотности вероятности. Распределение (1.23) является частным случаем распределения Гаусса, которое имеет следующий вид:
