Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрамов А.И. -> "Основы экспериментальных методов ядерной физики" -> 5

Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.

Абрамов А.И. , Казанский Ю.А., Матусевич Е.С. Основы экспериментальных методов ядерной физики — М.: Атомиздат , 1977. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): osnoviexperementalnihmetodovyader1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 232 >> Следующая


1 тогда г!

s = o

(г—s)! s!

©s(l— ©)'

-NS

в силу нормированности биномиального распределения.

Для получения дисперсии сначала вычислим _ N

X2----в* (I-Q)N-* =

X = O

х = ї

N Л.

+ у X —а.

** (ZV-Al)I х\

(ZV—х)! х\

Л'!

0*(1_©)л'-* + в* (I-G)W-AT1

(1.10)

лг=1

12 а затем воспользуемся (1.4). Проводя такие же преобразования сумм, как и при выводе (1.10), получаем х2 = N (N— 1)©2 + М5)2, следовательно,

D^a2 = NiN- I)©2 + N Є — (N©)2 = N8(1 — ©). (1.11)

Заметим, что а увеличивается с ростом N, а относительное средне-квадрэтическое отклонение б = — @)/(N@) уменьшается с ростом числа испытаний N.

Можно показать, что асимметрия у для биномиального распределения меньше нуля, если © > 1/2; равна нулю при © = 1/2 и больше нуля, если © > 1/2. Если © фиксировано, то у-+0 при N-+- оо для любого 0.

Распределение Пуассона. Это распределение описывает случайные процессы, в которых вероятность события мала по величине и постоянна. Для получения распределения Пуассона рассмотрим вероятность того, что за данный промежуток времени произойдет k событий при условии выполнения следующих предположений:

1) произойдет или не произойдет событие в момент t, не зависит от событий, предшествующих моменту t;

2) вероятность отдельного события за малый интервал времени St возрастает пропорционально длительности этого интервала. Иными словами, вероятность отдельного события за промежуток времени (t, t + Ы) равна nbt + 0 (б/), где 0 (бt) — величина более высокого порядка малости по сравнению с бt, которой будем пренебрегать в дальнейшем, п — коэффициент пропорциональности, смысл которого будет определен ниже;

3) вероятность двух или большего числа событий за тот же промежуток времени (t, t + бt) равна нулю.

Вычислим в этих предположениях вероятность того, что в интервале (0, t) произойдет k событий. Для этого сравним pk (t) и Ph if + и затем составим дифференциальное уравнение. Рассмотрим сначала случай k = 0. За промежуток времени (0, t — + бt)* не произойдет ни одного события, если не будет событий в интервалах (0, t) и (t, t + б/), т. е.

P0 (t + 60 = P0 (Оро (t, t + &f) = Po WIl - пЫ). Следовательно,

[Po (t + St) - ро (/)Ш = -про (t). Устремив Ы к нулю, получим дифференциальное уравнение:

dp0 (t)/dt = —про (t),

решение которого

P0 (t) = А ехр (—nt).

* В дальнейшем для упрощения записи положим р (0, t) = p(t).

13 При t = О имеем P0 (O) = 1; таким образом, А = 1 и

Po it) = ехр (—л*). (1-12)

Эта формула -описывает вероятность не наблюдать какое-то событие и очень часто встречается в ядерной физике. Например, при описании радиоактивного распада ехр (—Xt) представляет собой вероятность того, что атом не распадается в течение времени /; при описании прохождения нейтрона через вещество ехр (—2/) — вероятность прохождения нейтроном расстояния I без столкновения. Аналогично записывается вероятность того, что заряженная частица не создает в газе ни одной пары ионов. Заметим, что ра(х) не равна нулю при любых конечных значениях х.

Вернемся к получению распределения Пуассона. Если A=I, то имеется две возможности: событие произошло или в интервале (0, t), или в интервале (/, t -f б/). Отсюда

Pi (t + бt) = P1 (ОН — ибО — P0 (f)nbt\ Ip1 (t + 60 — P1 (Ol/o/ = —"Pi (t) + nPo (/)•

Полагая 0 и используя (1.12), получаем дифференциальное уравнение для P1 (t)

dpi (t)!dt = —Hp1 (0 + п ехр (—tit).

Легко проверить, что решение этого уравнения имеет следующий вид:

P1 (0 = tit ехр (—tit). В общем случае уравнение для любого k имеет вид

dpJdt = —nph (0 + npft-! (0.

а соответственно решение

Pk (0 = ехр (—nt)(nt)4k\ (1.13)*

Введя обозначение ц. = tit, запишем (1.13) в следующем виде:

pk (|i) = ехр (—ц)ц*/?! (1.14)

Это выражение и называется распределением Пуассона.

Распределение Пуассона характеризуется лишь одним параметром її, который может принимать любые положительные значения, тогда как k — только целочисленные положительные значения. Из (1.14) следует, что pk+1 (jx)!pk (jx) = ji!(k -r 1). Если ji< 1, T0 Ph +1 (,u) < Ph (u) при любом k, т. e. Ph (ц) убывает с ростом k и распределение Пуассона имеет максимум при k = 0. Если же (і > 1, то ph (|i) вначале растет с увеличением k, достигая максимального значения при k т ji, а затем убывает. Еще раз обратим внимание на то, что ph (|i) — не непрерывная функция, так как k —

* Формулу (1.13) можно получить предельным переходом при N — и .Vp = const из биномиального распределения, учитывая предпосылки, из которых оно найдено.

14 целое число. Значения рк (ц), приведенные на рис. 1.2, соединены кривой лишь для наглядности. Из этого рисунка видно, что распределение Пуассона асимметрично (7 ф 0).

Примером процесса, который описывается распределением Пуассона, может служить регистрация газоразрядным счетчиком фонового космического излучения. В этом случае регистрация частицы счетчиком — случайное событие, среднее число отсчетов в единицу времени не зависит от времени, вероятность попадания в счетчик двух частиц в интервал времени, равный мертвому времени счетчика, пренебрежимо мала.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 232 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed