Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Непрерывная случайная величина, например энергия ?-частицы при распаде ядра, может принимать любые значения внутри некоторой области. Дискретная случайная величина принимает лишь определенные точные значения, отличающиеся друг от друга на конечную величину, например число отсчетов счетчика тех же ?-частиц за единицу времени.
Если факт появления одной случайной величины (одного значения случайной величины) не влияет на вероятность появления другой, то такие величины называются независимыми. В противоположном случае жесткой связи, когда значение одной случайной величины полностью определяет значение другой, имеет место функциональная зависимость. Связь между случайными величинами может быть и не жесткой, каждому значению одной соответствует набор различных значений другой. Связь между случайными величинами в этом случае проявляется в среднем. Такая зависимость называется корреляционной. в отличие от жесткой функциональной. Определение корреляционных зависимостей между случайными величинами яв-лется одной из основных задач статистики. Нужно заметить, что, даже если зависимость между физическими величинами х и у является функциональной, зависимость между измеренными значениями X и у при наличии погрешностей измерения является корреляционной.
Частота появления отдельных значений измеряемой величины следует некоторому закону распределения вероятностей случайной величины или, кратко, распределению случайной величины. В случае дискретной случайной величины каждому ее значению Xi приписывается вероятность р (Xi). Множество значений вероятности р (Xi) называется дискретным распределением вероятностей. Функция р (xt) принимает определенное значение лишь при х = X1 и равна нулю при всех других значениях х, не равных Xi.
Для непрерывной случайной величины функция р (х) имеет смысл плотности вероятностей величины х, т. е. вероятности, приходящейся на единичный интервал величины х.
Предполагается, что распределения вероятностей р (х) и р (Xi) нормированы, т. е. удовлетворяют условию*
Дискретное распределение вероятностей случайной величины полностью задается множеством значений вероятности, или функцией распределения р (Xi). Непрерывное распределение полностью
* Введенный для краткости верхний предел суммы тс здесь и далее условно означает, что суммирование производится по всем возможным значениям Дискретной случайной величины Xi.
ОС
OO
(1.1)
7 задается его плотностью р (х). Иными словами, знание функции р (Xi) и р (х) позволяет определить все свойства распределения. Во многих случаях бывает необходимо выделить наиболее важные свойства распределения. Для этого вводятся такие характеристики, как среднее значение, дисперсия, асимметрия. Средним значением, или математическим ожиданием случайной величины, называют величину
00 OO
ц = M (л;)= С xp(x)dx\ \i = M (Xi)= XiP(Xi) (1.2)
-OO і-=O
для дискретного и непрерывного распределений соответственно. Иногда величину jj, называют истинным средним значением.
Если какой-то процесс описывается статистическим распределением, то отдельное значение случайной величины, характеризующей этот процесс, отличается от ее среднего значения.
Мерой отклонения случайной величины от ее среднего не может быть среднее значение* всех возможных уклонений, ибо для случайной величины X со средним fx оно равно нулю:
(X — н)= ^ (х — n)p(x)dx = 0;
(Xi-^) = Z (xI-Ii)P(xI) = 0'
г = 0
(1.3)
что проверяется непосредственным вычислением.
За меру разброса случайной величины относительно ее среднего принято использовать дисперсию. Дисперсией случайной величины называют среднее значение квадрата уклонений случайной величины от ее среднего. Обозначают дисперсию D (х), или ст2 (х). Положительное значение корня квадратного из дисперсии а (х) называют стандартным, или среднеквадратическим уклонением (отклонением). Для дискретной случайной величины дисперсия
D (Xi) = (*t - Н)а = S - Iх)2 P (xi) =
/ = O
со
V 2
= V xf р (Xi) — 2[а V1 Xt р (X1) +V* 2 Xfp(Xi) = X*-^. (1.4)
/ = O / = O / = O
Аналогично для непрерывной случайной величины
со
D(x)= J (х — \\)2р (х) dx = ? —[Л (1.4а)
* Черта сверху часто используется как символ среднего значения, т. е.
Tr- M (х) н [Л.
8 Для заданного среднего малое стандартное отклонение по сравнению со средним означает, что вероятность наблюдать события с характеристиками, сильно отличающимися от средних, мала, тогда как при большом стандартном отклонении вероятны события, сильно отклоняющиеся от среднего.
Стандартное отклонение легко связать с вероятностью случайной величине находиться внутри определенного интервала. Большей частью за границы такого интервала принимают величину, кратную ст. Тогда*
H + ga
/'([X-gcr < л: sc: H + gcr) = ^ p(x)dx. (1.5)
H-gCT
Здесь P ([.і — go sj^ X [.і -f- go) — вероятность величины; х находится внутри интервала ^x ± go.
Для распределения Гаусса [см. (1.24)], например, для g— 1 P (ц — go < л: < ц + go) = 0,68, а для g = 2—0,95. Это означает, что для очень большого числа измерений случайной величины л: в 68% случаев она окажется в интервале с границами fx ± go и в 95% случаев — в интервале с границами fx + 2ст.
