Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
B2 =± 1. (15.12)
§ 3. Определение оператора обращения времени
Вначале мы не будем учитывать спина. Тогда динамическими переменными являются координаты X и импульсы pXf которые при обращении времени должны преобразовываться следующим образом:
Q-lXQ=Xt Q-lpxQ = -pXi или (15.13)
xQ = 0л:, pxQ == — Qpx. гл. 15. обращение времени и крамерсово вырождение . 77
Отсюда после подстановки выражения 0 = UKo получим
xUK0 = UK0Xi PxUK0 = - UK0Px,
і і (15.14)
xU = UKqxKo19 PxU = - UKoPxKo'1.
Возьмем координатное представление, в котором х вещественно, т.е. х = Ко%Ко\ а рх — чисто мнимый оператор, так что рх = — К0рхК0 J. Тогда по формулам (15.14) получаем
XU = Uxt PxU = Upx. (15.15)
Таким образом, оператор U коммутирует со всеми динамическими переменными X и pXt и поэтому он должен быть постоянной, которую мы можем выбрать равной единице. В отсутствие спина в координатном представлении (но не в импульсном!) оператор обращения времени 0 совпадает с оператором комплексного сопряжения Ko-
Рассмотрим теперь один электрон, учитывая и его спин. Три компоненты sq оператора спина меняют свой знак при обращении времени и поэтому должны удовлетворять соотношениям
= - es,e~\ SqQ = - Qsqt (15.16)
что приводит к равенству
SqUK0 = -UK0Sqt
или (15.17)
SqU = -UKtfqKt1.
так что
sqU = — U s*q. (15.18)
В обычном представлении, в котором Sx и Sz — вещественные матрицы, a Sy — чисто мнимая матрица, оператор U должен антикоммутировать с Sx и Sz и коммутировать с Sy. Мы можем взять в качестве U унитарную матрицу оу = 2Syt удовлетворяющую этим требованиям, или, еще лучше, матрицу iayt преимущество которой заключается в том, что она вещественна и поэтому коммутирует с Ко- Так мы и сделаем. В итоге получаем, что в представлении, в котором г диагонально (координатное представление) и Sx и Sz вещественны, оператор обращения времени для одного электрона можно представить в виде
Q = IoyK0. (15.19)
Квадрат его равен —1:
Q2 = {lay) Ко (ioy) Ко = (Ioy)2Kl = -1. (15.20) 78
часть iii. теоретический обзор
Оператор обращения времени для п электронов 1,2, ...,/г
представляет собой произведение
п
9 = П Qp- (15.21)
Особенно важным результатом является то, что квадрат его равен ±1 в зависимости от четности числа электронов.
§ 4. Крамерсово вырождение
Рассмотрим систему с нечетным числом электронов, для которой G2 = —1, и предположим, что ее гамильтониан коммутирует с G. Так будет в отсутствие магнитного поля, поскольку при этом кинетическая и потенциальная энергии, а также спин-спиновые и спин-орбитальные взаимодействия инвариантны относительно обращения времени. Пусть 4я— стационарное состояние системы с энергией W\ тогда функция Ф = GxF также описывает стационарное состояние с той же энергией. Рассмотрим скалярное произведение (xFjO) = (xF, 6Ф). Поскольку G — антилинейный оператор, то
(xF, Ф) = CiP9 640 = (64', e2xF)* = (62xF, 640 =-OF, 640 = 0,
т.е. состояние Ф ортогонально 4я и поэтому, естественно, отличается от нее.. Отсюда вытекает, что уровень W по крайней мере двукратно вырожден. В этом заключается теорема Крамерса.-Мы будем называть состояние Ф = 64г крамерсово сопряженным C1Fh обозначать его символом 4r. ,
Со свойствами оператора 6 связано несколько полезных соотношений. Будем называть оператор О нечетным по времени (Г-нечетным), если 606-1 = —Ot; аналогично оператор О четен по времени (Г-четен), если 606"1 =+Ot. Если О — эрмитов оператор, то Ot= О, но иногда удобно использовать неэрмитовы операторы типа L± или /±.
В этой связи следует отметить, что произведение двух не-коммутирующих эрмитовых операторов А и В с определенной четностью по времени (например, оба Г-четных) не обладает определенной четностью, а является суммой Г-четного и T-нечетного операторов:
AB = у (AB + BA) + ~ (AB - BA) = С + D9
где С — эрмитов оператор, a D — антиэрмитов, и
QABQ'1 = 6С6""1 + QDQ'1 = C + D = Cf — Df.
Поэтому С — Г-четный, a D — Г-нечетный операторы. гл. 15. обращение времени и крамерсово вырождение .
79
Спин-спиновые и спин-орбитальные взаимодействия, являющиеся эрмитовыми произведениями Г-нечетных операторов, Г-четны.
Если G2 = —1, то справедлива следующая теорема.
а) Г-четный оператор не имеет отличных от нуля матричных элементов между двумя, крамерсово сопряженными состояниями, так как
(?|0|W) = (W, О0?) = (ОО0?, 040 = -(000"^, QW) =
= - (OtxF, OxF) = - (xF | О | ?) = 0. (15.22а)
б) Средние значения Г-четного оператора в крамерсово сопряженных состояниях совпадают, поскольку
(qr\0\W) = {Wt 040 = (904', QW) = (Q0Q~1QW, OxF) =
= (OfQWi 040 = (04', 0040 = (44 О IxF). (15.226)
в) Средние значения Г-нечетного оператора в крамерсово сопряженных состояниях противоположны по знаку. Доказывается это утверждение аналогично (б).
Если 02 = +1, то обращение времени играет гораздо менее важную роль, поскольку в этом случае состояние W может совпадать с обращенным по времени состоянием W = OxF. Аналогами предыдущих утверждений (а) — (в) являются следующие:
