Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
Просматривая табл. 4 и 9, читатель может задать законный вопрос: а из какой шляпы извлечены эти кролики? Мы сейчас
U)= +у)р>
(14.9) 66
часть iii. теоретический обзор
кратко расскажем о методе, использованном для составления этих таблиц. Рассмотрим функцию |/, М), относящуюся к представлению dj группы вращений. Если S есть какой-то из операторов группы О (или O+), то мы знаем, как вычислить функцию S|/, М)\ она запишется в виде
S|/, М> = 2|/, mf)djm>m(s), . (14.10)
Mf 4 '
где D1MfM(S) — некоторые известные матричные элементы представления dj группы вращений (гл. 13, § 2). В принципе мы знаем также матрицы A^ различных неприводимых представлений Tk {k = 1, ..., 8) кубической группы, как уже разъяснялось выше. Индексы [iHv здесь различают базисные функции внутри представления IV Каждое представление Th осуществляется с помощью Iu функций 1F^, которые под действием оператора S группы преобразуются в функции
(14.11)
V N
Функции xPv являются искомыми линейными комбинациями функций I/, M), приведенными в табл. 4 и 9 в случае кубиче-, ской группы. И наоборот, каждая функция- |/, М) представляет собой линейную комбинацию функций :
|/, М> = 2 <-<#(/, Al). (14.12)
k\ м/ N
Определим теперь оператор
^w* (5)5' (14.13)
5
где g — число элементов группы (равное 48 для O+), а суммирование проводится по всем операторам группы. Согласно формуле (14.10), мы можем выразить РІ | J9 М) в виде суммы функций |/, mr). С другой стороны, если воспользоваться выражением (14.12) для |/, М)у то получим
PlM9 2 (1414)
или, используя (14.11), имеем
Pl\], АО—lf S М). (14.15)
s', kv
что с учетом соотношений ортогональности (12.9) сводится к PllJy A!) = HtfcJU/, Af). (14.16) гл. 14. кубическая и некоторые другие группы
67
Таким образом, можно получить все функции Wll9 представленные в табл. 4 и 9 (за .исключением нормирующих множителей). Вычисления по формуле (14.14) приведут к нулю, если C^ (J, M) = 0, т. е. если разложение (14.12) состояния M) не содержит функции Тогда нужно будет исходить из другого состояния ЛГ), и так до получения всех функций Ч^.
Практически же наилучшим остается наш старый совет: раз кто-то составил таблицы, почему бы не воспользоваться ими?
§ 5. Группы более низкой симметрии
Тетрагональная группа, известная в литературе так же, как группа Z)4, — это группа симметрии куба или октаэдра, искаженного вдоль оси C2, именуемой тетрагональной осью. Она содержит следующие элементы и классы: E9единичный оператор,
C2, поворот на угол я вокруг тетрагональной оси Oz (1 элемент),
C4,повороты на ±я/2 вокруг той же оси (2 элемента),
C2, повороты на я вокруг осей Ox9 Oy9 перпендикулярных Oz (2 элемента),
C2,повороты на я вокруг осей OX9 OY9 направленных под углами я/4 к осям Ox и Oy (2 элемента). Всего имеется 8 элементов и 5 классов, поэтому (гл. 12, § 3) группа обладает ровно пятью неприводимыми представлениями, которые мы обозначим через Г*, Г2, Г5 (индекс t является слабой попыткой избежать путаницы с представлениями кубической группы); в литературе эти представления известны и под другими названиями. Из равенства (12.14) сразу вытекает, что все представления одномерны, за исключением последнего, размерность которого равна двум. Характеры приведены в табл. 10 в конце книги.
Мы не будем выписывать разложений Dj по неприводимым представлениям ТІ группы D4, а довольствуемся указанием соответствия между представлениями Th кубической группы и представлениями ТІ тетрагональной группы, являющейся под-Группой группы О. Используя таблицы характеров и формулу (12.16),.можно найти, что
Гі = Г{, Г2 = Г*, Гз = Гз+Гі,
T4 = Il+It, Га-rt+rS. (ИЛ7)
Очевидно, что нет никакой логики в выборе индексов представлений (предложенных Бете), но мы не будем еносить лишней 68
часть iii. теоретический обзор
путаницы, добавляя свои собственные обозначения к многочисленным уже существующим.
Что касается «хороших» волновых функций нулевого приближения, то можно сказать следующее (в качестве оси z взята тетрагональная ось):
При J = 1 кубический триплет Г4, которому соответствуют базисные функции xf yf zf расщепляется на синглет Tt2 с базисной функцией г и дублет Г5 с базисными функциями х и у.
При J = 2 кубический триплет Г5 с базисными функциями xyf yzf zx расщепляется на синглет Tt4 с базисной функцией ху и дублет Г5 с базисными функциями yz и zx.
Кубический дублет Гз расщепляется на синглет Г{ с базисной функцией 3Z2 — г2 и синглет Гз с базисной функцией X2 — у2.
При J = 3 кубический синглет Гг сводится к синглету Гз с базисной функцией xyzf триплет Г5 распадается на дублет Tt5 с базисными функциями х(у2 — г2) и у (г2 — х2) и синглет Г4 с базисной функцией z(x2 — у2); триплет Г4 распадается на синглет Tt2 с базисной функцией z(3x2 + 3y2 — 2г2) и дублет Г 5 с базисными функциями x(3y2 + 3z2 — 2x2) и у (3z2 + Зх2 — 2у2).
Заметим, что, согласно формулам (14.17), уже при разложении D3 представление Г5 встречается дважды, и правильные функции нулевого приближения, образующие базис этого представления, нельзя получить, не зная явного вида тетрагонального потенциала. Недиагональные матричные элементы тетрагонального поля между состояниями кубических триплетов Г4 и Гб приведены в явном виде на фиг. 7.5 (т. 1).
