Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
Двумерное представление Гз осуществляется двумя ортогональными комбинациями функций (002) и (1/]/3~) {(200) — (002) }, пропорциональными 3z2 —г2 и ]/3 (х2 — у2). (Множитель У^З обеспечивает одинаковую нормировку обеих функций.)
Очень просто проследить за преобразованием трех волновых функций г\х ~ yz, г]у ~ zx, x\z ~ ху при циклической переста-новке переменных (х, у, z), R и R2j т. е. при вращениях на 2я/3 и 4я/3 соответственно вокруг оси третьего порядка (111). Сложнее проследить за преобразованием при этих же условиях функций 9 ~ (3z2 — г2) и г~УЪ (х2 — у2), поэтому мы приведем здесь полученные результаты:
Первое из этих равенств, например, легко проверить, замечая, что функция (3z2 — г2) = (2z2 — х2 — у2) преобразуется в
Случай I = 3
Функция (111), пропорциональная (лt/z), осуществляет одномерное представление Гг. Представление Г4 осуществляется тремя функциями (300), (030), (003), пропорциональными x(3y2 + 3z2 — 2x2) и т. д.
Представление Г5 осуществляется тремя ортогональными функциями (102) — (120), (210)-(012), (021)-(201), пропорциональными соответственно X(у2 — z2) и т. д.
RQ = -± 9 + -^-8, R2B = - Ig-^es Re — — 9 — уе, =
2 с>
(14.4)
(2*2 -tf-Z 2) = I (Х2 -у2) (2z2 -X2- у2) гл. 14. кубическая и некоторые другие группы 61
Случай I = 4
Мы приведем здесь лишь результаты расчетов:
Г,: + +
j [г" -1 (х* +у*)-у г2 УЦг2 - 4 (*2 + У2)}],
3' І Щ^-іґ-тУь^-у2^2}'
J1 j .n/^z2 — y-j и две функции, получающиеся в результате
5 I циклической перестановки х, у, г,
Г. f ху{х2 — у2) и две функции, получающиеся 4* \ в результате циклической перестановки х, у, z.
§ 2. Фиктивный угловой момент
Рассмотрим набор матричных элементов (li\Vk\lj) компонент вектора V, где |ж, Iyy Iz — три волновые функции, осуществляющие представление Г4 и преобразующиеся как ху у, z при поворотах из группы О.
Компоненты Vxy Vy и Vzy которые ведут себя при поворотах как ху у и Zy также преобразуются согласно представлению Г4 группы О. Поскольку в разложении Г4 X Г4 представление Г4 встречается лишь однажды (см. табл. 2 в конце книги), то матричные элементы (giI Vk\lj) определяются однозначно с точностью до множителя. То же имеет место и для матричных элементов (г]г| Vk\r\j)y где функции цХу г]2 относятся к представ-лению T5 и преобразуются подобно yzy ZXy хуу поскольку произведение Г5 X Г5 также содержит представление Г4 только один раз. Если ввести новые функции [m), согласно формулам
или (14.5)
, , г і _ tU ± Щу . >Х\
I ± 1 I=+ у2 , I 0} = т]2,
то матричные элементы (m\Vk\m') будут пропорциональны матричным элементам момента I с Г = 1, который иногда называют фиктивным моментом; иными словами,
(m\Vk\m') = a(ly m\lk\ly m'). (14.6)
Из табл. 2 видно, что разложение прямого произведения Гз X Гз не содержит Г4, и поэтому вектор не имеет отличных от 62
часть iii. теоретический обзор
нуля матричных элементов между состояниями дублета Гз; по этому поводу иногда говорят, что дублет Гз немагнитный. Как и раньше, обозначим через 0 и є две функции, относящиеся к представлению Г3 и_преобразующиеся при поворотах из группы О как 3z2 — г2 и /3~ (х2 - у2).
Для многих приложений полезно получить выражения для состояний I т), возникающих при разложении представления Dj1 в виде линейных комбинаций собственных состояний |/, т) с т = J21 когда ось Oz направлена вдоль одной из осей C2 куба. В табл. 4 в конце книги приводятся эти выражения вплоть до / = 4. Для краткости там вместо |/, т) пишется |т), поскольку значение J в таблице указано совершенно определенно. Рядом с каждым представлением Г4 и Г5 представлено значение а — коэффициента пропорциональности между J и фиктивным моментом I(J = al).
§ 3. Мультиплеты Г4 и Г5 в тригональных осях
Если кубическое окружение иона искажается в направлении одной из осей C2 куба, скажем, оси Oz1 то совершенно очевидно, что триплет Г4 расщепится на дублет, к которому относятся состояния Ix и Iy (или I Г) и |—T)), и синглет gz=|0). То же верно и для Г5, только вместо функций I подставляются функции т). Функции Ii и r\i триплетов Г4 и Г5 (или функции I т) в обоих случаях) являются, таким образом, «правильными» волновыми функциями нулевого приближения для такого искажения кубической симметрии. С другой стороны, для тригонального искажения, т. е. искажения вдоль пространственной диагонали, предпочтительнее пользоваться следующими функциями, которые будут «правильными» функциями нулевого приближения:
I Г)т = а(1х + е™1% + е*«Чг), \0)т = а(1х + 1у + 1г\ - (14.7)
I-Dr = "&* + е~2яШ1у +-е~шЧгУ,
здесь а — нормировочная константа (для Г5 вместо Iyt следует использовать функции r\Xi rIz). Функции (14.7) можно получить, пользуясь табл. 4, но теперь лучше квантовать Jz вдоль пространственной диагонали. Результаты этих вычислений приведены в табл. 5 для представления Г5, получающегося при / = 2, и для обоих представлений Г4 и Г5, возникающих при / = 3. гл. 14. кубическая и нехоторые другие группы
63
§ 4. Двойная кубическая группа
Для изучения расщепления уровней свободного иона, описываемых полуцелыми значениями /, под действием поля с кубической симметрией необходимо ввести так называемую двойную кубическую группу O+. Вспомним, что Dj с полуцелым /, если говорить строго, является представлением не группы пространственных вращений G1 а унимодулярной группы U = Dlfit и каждому вращению из группы G соответствуют две матрицы ± и группы U. Следовательно, двойная кубическая группа однозначно определяется следующим образом: рассмотрим 24 поворота группы G1 принадлежащих ее подгруппе О; им соответствует вдвое большее число, а именно 48 матриц группы U1 которые образуют подгруппу о+ этой группы. Абстрактная группа, таблица умножения которой совпадает с таблицей умножения о+, является по определению двойной кубической группой O+. Группа O+ получается добавлением в группу О элемента R1 который в о+ представляется матрицей^ —і)" Элемент R
