Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
= I ^ W {S (3zl - rD} ^r (r) (13-40)
Метод эквивалентных операторов удобен также в случаях, когда используется какой-либо нестандартный набор компонент для тензорных операторов, например декартовы компоненты. В качестве примера рассмотрим вектор с декартовыми компонентами Vxi Vy1 Vz- Тремя линейными комбинациями этих компонент, преобразующимися при поворотах обычным образом с помощью матриц D1mm', являются
V0_V т/1 _ vX+IV» T7-I _ Vx-IVy И Vi = V2f V1---уг~~' ~~ —Tf—• (13-41'
В пределах совокупности состояний с данным J можно записать равенства
V01=PJ2, V\ = -^J+, VTi=^rJ-, (13.42)
которые в сжатом виде выражаются соотношением V = ?j, и для написания этого соотношения в координатной форме мы можем воспользоваться любой системой координат. (Предвосхищая теорему Вигнера — Эккарта, мы уже использовали этот результат при вычислении множителя,Ланде в гл. 11, § 2.)
Точно так же мы можем построить, исходя из компонент вектора J, неприводимый тензор S2 со следующими составляющими:
Sl = 3J2z — / (/ + 1), S?] = ^f (J2J± + J±Jг\ (13.43)
C±2 - Vb г 2 = ~2~J±
и написать, что матричные элементы всех неприводимых тензоров Tl между состояниями с данным значением J пропорциональны соответствующим матричным элементам S|.
Здесь опять может оказаться более удобным представить S2 в форме симметричного тензора, след которого равен нулю и который имеет следующие компоненты в декартовых координатах:
Sik = 4 V*1* + V*) - / (/ + О (13.44)
Можно утверждать, что для состояний с данным J всякий другой симметричный тензор Tih со следом, разным нулю, можнр 56 часть iii. теоретический обзор
записать в виде Tik = ?S^. Например, тензор Ti компоненты которого
^ = (13.45)
где хр. — координаты электронов некоторого атома, представляет собой электрический квадрупольный момент этого атома, и в пределах состояний с данным J он пропорционален тензору (13.44).
Наиболее веским доводом в пользу метода эквивалентных операторов по сравнению с непосредственным использованием формулы (13.38) является то, что большая часть основополагающих работ в области магнитного резонанса (включая обширные и очень полезные численные таблицы) сформулирована на этом языке. Несмотря на некоторые погрешности в обозначениях, например использование ненормированных сферических гармоник, мы часто будем пользоваться эквивалентными операторами, отмечая при случае связь с более последовательными обозначениями формулы (13.38). Детальное изучение приложений этого метода к парамагнитному резонансу отложим до гл. 16.
Вероятно, полезно отметить, что Бакмастер [8] определил «операторы Рака», обозначаемые через Оь которые непосредственно соответствуют приведенным сферическим функциям
и потому обладают той согласованностью, которой нет у операторов, определенных Стивенсом [9]. Смит и Торнли [10] приводят полный перечень таких операторов вплоть до k — q — 6, а их матричные элементы в обозначениях Фортрана протабули-рованы Биргенау [11].
ЛИТЕРАТУРА
1. Wigner Е. P., Group Theory, New York, 1959. (См. перевод: Е. Вигнер, Теория групп, ИЛ, 1961.)
2. Fano ?/., Racah G., Irreducible Tensorial Sets, New York, 1958.
3. Messiah /4., Quantum Mechanics, Amsterdam, 1961.
4. Tinkham M., Group Theory and Quantum Mechanics, New York, 1964.
5. Edmonds A. /?., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, 1957.
6. Judd B. R., Operator Techniques in Atomic Spectroscopy. New York, 1963.
7. Rotenberg M., Bivins R., Metropolis N., Wooten J. K., The 3/- and 6/-symbols, Cambridge, 1959.
8. Buckmaster H. A., Can. Journ. Phys., 40, 1670 (1962).
9. Stevens K W. H.. Proc. Phys. Soc., 65, 209 (1952).
10. Smith D., Thornley J. H. M., Proc. Phys. Soc., 89, 779 (1966). Ij Birgcneau R. /., Can. Journ. Phys, 45, 3761 (1967), ГЛАВА 14
КУБИЧЕСКАЯ И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ГРУППЫ
§ 1. Кубическая группа
Эту группу мы рассмотрим значительно подробнее, чем другие конечные группы, не только потому, что кубическая симметрия встречается довольно частота главным образом потому, что это единственная симметрия, при наличии которой в парамагнитном резонансе нельзя обойтись без теории представлений групп. Если окружение обладает более низкой симметрией, то часто оказывается возможным не прибегать к этой теории. Многие из полученных результатов могут быть непосредственно перенесены на другие группы.
Уровень свободного иона, характеризуемый определенным значением углового момента J и обладающий поэтому кратностью вырождения 2/+1, относится к представлению Dj группы вращений, характер которого дается формулой (13.16)
sinUj+ 1M^
sin (V2 ф)
Чтобы выявить картину расщепления этого уровня в условиях, • когда окружение иона обладает кубической симметрией, мы должны получить неприводимые представления кубической группы О. Рассмотрим сначала случай, когда J — целое число. Как мы видели ранее, в этом случае имеется взаимно однозначное соответствие между вращением R и матрицей Dj(R).
Кубическая группа О — это группа поворотов, оставляющих неизменным куб или правильный октаэдр. Она содержит следующие классы:
