Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
Важная роль неприводимых тензоров предопределяется следующей теоремой, известной в литературе как теорема Вигне-ра — Эккарта. Рассмотрим набор всевозможных матричных элементов данного тензорного оператора Tli (a/m | Tl | afm\ где индексы а и а7 используются для обозначения любых дополнительных квантовых чисел, которые могут понадобиться для характеристики состояний I jm) и \j'm'). При фиксированных значениях a, /, k, а', /' имеется (2/+ 1)(2? + 1)(2/7+ 1) таких матричных элементов. Теорема Вигнера — Эккарта утверждает, что все эти матричные элементы определяются однозначно с точностью до общего множителя. Доказывается теорема следующим образом. Обозначим для краткости матричный элемент (a}m\Tk\o!ftn) через fiy где индекс / заменяет индексы ту q, т'. При вращении осей координат fi преобразуется в соответствии с тройным прямым произведением Dr X Dk X Df- С помощью преобразования подобия можно осуществить приведение этого произведения к сумме неприводимых представлений Djt рассматривая набор величин которые являются линейны-
ми комбинациями матричных элементов fi и преобразуются со- гл. 13. группа вращений
53
гласно представлению Dj:
І? (13.35)
і
Индекс ? позволяет учесть то обстоятельство, что в разложении произведения DrXDkXD1 на неприводимые представления 2 Dj данное значение / может встретиться более одного раза. Однако значение / = O встречается в этом разложении только один раз, поскольку существует только один способ сложения трех моментов в нулевой момент, и первую из формул (13.35) можно переписать в виде
ft = 2 (i\PJM)g% + (i\00)g°. (13.36)
?, ІфО
Коэффициенты (i\?JM) полностью определяются свойствами группы вращений и не зависят от тензора Tl и квантовых чисел а, а', необходимых для определения состояний \ajrn) и I afj'm'). В частности, коэффициент 100), согласно уравнению (13.25) для инвариантного тройного произведения, пропорционален коэффициенту Вигнера
І k Y
— т q т')'
умноженному на (-l)/_m. Замена т на — т в коэффициенте Вигнера и появление фазового множителя обусловлены здесь тем, что в матричном элементе {jm \ Tl | ftn) появляется комплексно сопряженная функция Wf .
Используя свойства симметрии коэффициентов Вигнера и определение (13.21), находим
(_!)/-»( k Me(_i)'-(_i)/+*+'' Irf k '
v V — т q т' I х v ' \т' q — т
_і ,\!-m+l+k+r+j'-k+m (fm'kq \ j'kjm) _ (j'm'kq | j'qjm) /10074
/2/+Т /27+1 ' (1<3,37)
С другой стороны, матричный элемент типа fi не зависит от ориентации осей координат, поскольку он является интегралом по пространственным (и, возможно, спиновым) переменным, и вращение осей соответствует просто замене переменных интегрирования. Это возможно лишь в том случае, если в формулах (13.35) и (13.36) все величины с / Ф 0 обращаются в нуль, откуда fi = {i\00)g^t что и доказывает теорему, поскольку 54 часть iii. теоретический обзор
набор матричных элементов оператора Ti отличается от матричных элементов другого тензорного оператора того же ранга k только одной константой
Основным пунктом доказательства служит то, что в разложении тройного произведения DrXDkXDi единичное представление D0 встречается только один раз. Позднее мы увидим, что для групп более низкой симметрии это не всегда верно и что при вычислении матричных элементов типа (Ya | | 4%), где Way Vfty Mrv относятся к трем представлениям, скажем, кубической группы, может потребоваться более одной константы.
Теорема Вигнера — Эккарта выражается обычно следующей формулой, согласующейся с (13.37):
(а Jm I Tqk I а'} т) = у== («/II Tk || а'/') </'m' kq | /'A; /т>, (13.38)
где величина (а/ || Tk Il а'/') не зависит от магнитных квантовых чис&л т'у т. Множитель 1/^2/ + 1 также можно было бы включить в определение этой величины; мы не делаем этого, следуя установившейся традиции. Если рассчитан один матричный элемент (ajnio\Tk*\a j tn'o) для какого-то набора магнитных квантовых чисел m0, qQJ т'0 (это самая сложная часть вычислений), то все остальные матричные элементы могут быть получены по формуле (13.38) при наличии соответствующей таблицы коэффициентов Клебша — Гордана.
Иногда, особенно при вычислении диагональных матричных элементов (/ = /7, а = а7), вместо непосредственного использования формулы (13.38) более удобным оказывается несколько другой способ применения теоремы Вигнера — Эккарта — метод эквивалентных операторов. Рассмотрим компоненту Sk тензорного оператора, матричные элементы которого по той или иной причине могут быть легко вычислены, например компоненту
5^ = 3/1-/(/ + 1), для которой ' ,
(a jm |Sa | а Jm) = 6mm- {Зт2 - / (/ + 1)}. (13.39)
Если нас интересует, скажем, оператор T02 = 2 (Зг? — где
суммирование проводится по всем электронам иона, то, согласно теореме Вигнера — Эккарта, мы можем написать, что в пределах совокупности состояний |а, /)
T02 = PSl
Константу ? можно получить, вычисляя среднее значение Т% в некотором выбранном состоянии |а, у, т0) и записывая равен- гл. 13. группа вращений
55
CTBO
?(3m2 —/(/+ 1)} =(а, /, т0|Г°|а, /, т0) =
