Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
(J{m{J2m21IlJ2Jm) ф (J2m2J{m{ IJ2JlJm). (13.22)
Функции |/і/Лі) І/2/И2) и I/1/2/яг) связаны между собой следующими соотношениями:
11^) = (-1)1'4^ I1VWTT hm 'Jl пщ)\кщ),
TnlTn7 \ mi m2 ги j
(13.23)
І />І>I km2) = S (-1)'-''-"1 VWTT (hm hm Ml hhim).
jm \ m\ m2 — m j
(13.24)
§ 4. Векторное сложение нескольких моментов и символы Рака
Если заданы три вектора ji, j2, із, то их можно сложить в вектор j более чем одним способом. Рассмотрим сначала случай j = 0. Согласно законам векторного сложения, это значение может быть получено либо путем сложения векторов ji И j2 в вектор ji2, равный ПО величине j3, либо сложением ii И Із в вектор, равный J2, либо сложением J2 и J3 в вектор, равный Ji. 50
часть iii. теоретический обзор
Важно отметить, что все указанные схемы связи с точностью до фазового множителя ± 1 приводят к одному и тому же невырожденному состоянию, инвариантному относительно вращений.
Символ 1/1/2/3,00) соответствует состоянию с нулевым угловым моментом, которое возникает в результате сложения моментов ji и j2 в ji 2 = Із и последующего сложения ji 2 и із в момент і = 0. Можно показать, что имеет место следующее соотношение:
1/1/2/3,00)==2('' h h )\ит{)\ьт2)\ьт,). (13.25)
тхт7 х Щ Щ гп3 J
Симметрия состояния 1/1/2/3,00) по отношению к перестановке двух индексов непосредственно вытекает из соответствующей симметрии коэффициентов Вигнера: перестановка любой пары индексов приводит к появлению множителя (—-
Обратимся теперь к общему случаю, когда сумма J трех векторов ji, j'2, із отлична от нуля. Зададимся целью вычислить скалярное произведение двух состояний
I fl> = I (/1/2)/12. /3;
I 0) = 1/1, (/2/3)/23; JMf); (16'2д)
первое из них получено сложением Іі и І2 в вектор Ji 2, который затем складывается с із в вектор J; состояние |Ь) получается предварительным сложением векторов j2 и Із в J2 з- Поскольку I а) и IЬ) представляют собой два базисных состояния, оба относящихся к одному и тому же неприводимому представлению Djt их скалярное произведение равно нулю при M Ф Mr и не зависит от Mt если M = Mf. Это является частным случаем равенства (12.33), который имеет место при V=I. Поэтому мы можем опустить индекс M и написать произведение (а\Ь) в виде
<fl| ь) = ((Z1Z2)/12, /з, Л Zi, (Z2Z3)/23, />. (13.27) Рака ввел функцию шести переменных
/rZi Z2 Zi 2\ \/з / Z23/'
называемую 6/-символом, которая, по существу, с точностью до численного множителя совпадает с этим скалярным произведе,-нием. По определению 6/-символа имеем
((Z1Z2) Zi 2> Z3, Л Zi, (Z2Z3)Z23,
¦Р(-1)/і+/'+/>+/ V(2h2 + 1)(2/,3+1)(* 1J (13.28) гл. 13. группа вращений
51
Мы не будем пытаться приводить здесь довольно сложное аналитическое выражение 6/-символа. Его численные значения табулированы Ротенбергом, Бивинсом, Метрополисом и Вутеном [7]. 6/-сим вол
fа Ь су d е f
обладает замечательными свойствами симметрии, которые легко запомнить, пользуясь так называемой тетраэдрической диаграммой. Построим тетраэдр и обозначим три его ребра, лежащие в одной плоскости,, через а, Ъ, с, а три противоположных ребра — соответственно через d, е, f. Символ
'а Ь с^
\d е f,
обладает симметрией этой фигуры. Выбирая другую плоскость, скажем aef, мы получаем символ
' а е Г
Kd Ь
равный предыдущему.
Из определения 6/-символа (13.28) следует, что его непосредственно можно записать в виде суммы произведений четырех коэффициентов Клебша — Гордана. Мы не будем приводить здесь эти выражения в явном виде.
§ 5. Неприводимые тензорные операторы,
теорема Вигнера — Эккарта и эквивалентные операторы
Рассмотрим оператор Т, в результате воздействия которого на волновую функцию Y получается функция Ф, что символически изображается равенством
Ф = TxV. (13.29)
Пусть R— преобразование группы G, переводящее функцию xV в 1F, а функцию Ф в Ф, согласно соотношениям Y = RxV, Ф = = RO. Используя__равенство (13.29), получаем соотношение между функциями Ф и Y
ф = ^nr1W = PF. (13.30)
Оператор T == RTR-* является результатом подобного преобразования оператора T под действием R.
Очень важный класс операторов составляют неприводимые тензоры. По определению тензорным оператором Th ранга k 52
часть iii. теоретический обзор
называется набор из 2&+1 операторов Tqk с q — k, k — ... ..., —k, которые при пространственных вращениях преобразуются согласно представлению 3)k, т. е.
RTlR-1 = ^Dh(R)Ti. (13.31)
я'
Простейшим тензорным оператором является скаляр, инвариантный относительно поворотов и обладающий только одной компонентой. Далее следует трехкомпонентный вектор и т. д. ^ Если взять в качестве R бесконечно малые повороты R = = 1 —/є/Z и R = 1 —/е/±, то, согласно равенству (13.31), получим
(1 -/е/2)Г?(1 +/e/2) = 2(VI \-UJz\kq)Tt, (13.32)
я'
(1 _ UJ±) Tl( 1 + /е/±) = 2 (VI 1 - «/±1 kq) Tt (13.33)
Q'
Сравнивая в этих соотношениях члены одного и того же порядка по є и используя равенства (13.2), находим
Ih, П] ^qTl
[/*, П] = {k(k+l)-q(q± 1)}*Tl< К ^
