Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому правильнее говорить, что представления Di являются представлениями группы Uy или группы матриц U = Dlfi. Каждой матрице и этой группы соответствуют только одно пространственное вращение Ru и единственная матрица Di(Ru) при каждом значении /. С другой стороны, двум матрицам и и —и, отличающимся знаком, отвечают одно и то же вращение Ru, только одна матрица Di(Ru) при / целом и две противоположные по знаку матрицы ±Di(Ru) при / полуцелом.
Полезно знать выражения матричных элементов D1mm'(R), которые, согласно формуле (13.5), определяют преобразование волновых функций xVj^m = I /, tn), описывающих в случае свобод-гл. 13. группа вращений
47
ного иона состояния с определенным значением энергии и являющихся поэтому удобным исходным пунктом при исследовании связанного иона. Матричные элементы в случае / = 1I2 приведены в равенстве (13.8). При больших значениях j их аналитические выражения становятся громоздкими, и мы снова отсылаем читателя к соответствующим таблицам. В крайнем случае эти матричные элементы можно вычислить, используя следующие наметки. Из соотношения
DLmiа, ?, y) = (j™ Ie~iaIze~^Jye~iyJzI jm) = _ e-i (am'+Ym) | ^Jy | /m> e (0, ?, 0) (13.15)
следует, что необходимо вычислять только более простую величину dmm'{$) = Dmm'X0, ?, 0). Вычисление существенно упроща-ется, если иметь в виду приводимое ниже утверждение (мы сформулируем его без доказательства). Пусть ? и г\—две компоненты двумерного вектора, который преобразуется с помощью матриц D4t. Можно показать, что 2/ + 1 величин
^f+m^f-m
YiITWWtW9
где т принимает значения /, /— 1, ..., —/, преобразуются при поворотах посредством матриц Dimnt>. Отсюда и вытекает метод вычисления последних, если известны матрицы ?>/а.
Характеры представления Di проще всего вычислить, если рассмотреть повороты на угол <р вокруг оси г. Повороты на тот же угол ф вокруг другой оси относятся к тому же классу и обладают теми же характерами. Оператор R записывается в виде ехр (—/ф/z) > и
Dbm(R) =6тт>Є-іт\
так что
х'(ф)= І (13.16)
§ 3. Сложение моментов
Коэффициенты Клебша — Гордана и Вигнера Сложение угловых моментов представляет собой один из наиболее известных законов физики. Если заданы два момента Ji и j2, собственные значения которых равны /і и /2, то вектор j = ji + І2 обладает собственными значениями / = j\ + /2, /і + /а—І» •••> Jji — /21• В частности, величина j может оказаться равной нулю, только если /і = /V48 часть iii. теоретический обзор
С точки зрения теории представлений это имеет следующий смысл. Рассмотрим два набора волновых функций Чr/im, = = IZ1An1) и xVj2Jn2 = I І2т2)у являющихся базисами представлений SDh и SDh. Набор всевозможных произведений xVjxm^Vj2m2 является базисом для представления Это представление приводимо и разлагается на следующие неприводимые представления:
SDh X SDh — ?>ІІ+І2 + ?)h+h~l + ... +0|/г"Ч (13.17)
Важно отметить, что каждое представление SD^ с индексом, удовлетворяющим условию
l/l -/2 К/ < /l +/2,
содержится в разложении (13.17) только один раз.
Равенство (13.17) носит символический характер. В матричной форме оно запишется в виде
S(DflXDl2)S~l = Dh+h + ... +Dlw2', (13.18)
где S — унитарная матрица, преобразующая базисные состояния |/іті)|/2т2) представления
Dh X Dh в базисные состояния I/i/2/ап), по отношению к которым матрицы представления 2)uX?>h записываются в приведенной, квазидиагональной форме
/D>'+h \
' • • (13.19)
V ' D1
Элементы матрицы S обозначаются посредством очевидных символов {jimu /Vn21/1/2, Іт)у известных в литературе как коэффициенты Клебша — Гордана. Их свойства всесторонне изучены и составлены таблицы их численных значений, поэтому мы очень кратко остановимся на этом вопросе. Согласно правилу векторного сложения, они обращаются в нуль, если нарушается условие |/i — /21 ^ / S^/1 + /2; они равны нулю также, если т Ф nii + fn2. Это происходит потому, что вращение на угол qp вокруг оси Z умножает состояние |/imi)|/2m2) на ехр [—/(mi + + ^2)9], а состояние |/, т) — на ехр(—ітц).
Фазы различных базисных векторов можно выбрать так, чтобы коэффициенты Клебша — Гордана были вещественными, и это обстоятельство отнюдь не тривиально. Из унитарности матрицы S следуют очевидные соотношения ортогональности длягл. 13. группа вращений 49
коэффициентов Клебша — Гордана, как, например,
2 (ІХІ2ЩЩ VllJ2Jm) (и\2Щт2\JM т) = б/у. (13.20)
Ш\ТПч
Коэффициенты Клебша — Гордана обладают довольно сложными свойствами симметрии, которые лучше всего демонстрируются путем введения родственных коэффициентов, называемых коэффициентами Вигнера, или 3/-символами, которые обозначаются
fix І2 /з \
\tщ т2 т3 J9
причем mi + т2 + т3 = 0, и определяются соотношением
(/1 J2 / з А (_n/i—/2—
«І "і *нП vkTT hk 1* - ъ). (13-21)
Коэффициенты Вигнера обладают очень простыми свойствами симметрии, которые легко запомнить. При перестановке двух столбцов коэффициент Вигнера умножается на (—1)/і+/2+/з то же имеет место при замене ти т2, т3 на —miy —m2, —т3. Отсюда можно получить более сложные свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана, если использовать равенство (13.21). Следует отметить, что