Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абдильдин М.М. -> "Механика теории гравитации Эйнштейна" -> 7

Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.

Абдильдин М.М. Механика теории гравитации Эйнштейна — М.: Наука, 1988. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): mehteorgraven1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 32 >> Следующая


Для интереса выберем второй путь. Запишем (5.5):

<30Чг-О-^)Р2-^г(Р0)= ImtC8 . (6.3)

Учитывая (6.2), получим нужное нам уравнение Гамильтона - Як об и

„oo/3S\* 21К/Э5 А/пі**

В сферической системе координат вектор-потенциал

^0.?, (6.5)

если G^ - единичный вектор в направлении координатной линии <р . Тогда в этой системе уравнение (6.4) будет иметь вид

% C34; - G 1Лэг' + Va

2 в Эв г *

Здесь введены обозначения

?-'=11-?), ь-ц^. (6.7,

Полный интеграл уравнения (6.6) ищем в виде

SdAtfl* ) = + so*.©) , (6-8>

зо где 6 - неизвестная постоянная; SCi,9) _ неизвестная функция. Подставляя (6.8) в (6.6), имеем

<6 t - Jy Y К ^rl ) + гг

Э© '

¦ ^ML= mV. <6-9>

7. 0 J tL

В этом уравнении переменные разделяются, если положить

btt.O) « ^ Св) -V R . (6.10)

Тогда вместо (6.9) получим систему gtt = Ot4

30. C0"te, Ot4 2«Г? Л (6.11)

в которой Cc - новая неизвестная постоянная. Отсюда находим в _J—,

Ih'-Se d® • {6.12)

S

RCt)= j/o

•V-rnVje'-^--^^ di , (6.13)

г« Tt

чі

где ч. - некоторое начальное расстояние. Теперь

(6.14)



Это решение содержит необходимое число произвольных постоянных (к (6. 14) можно добавить аддитивную постоянную) и, следовательно, является полным интегралом /25/ рассматриваемого уравнения Гамильтона - Якоби.

Решение канонической системы Гамильтона есть /19, с.402/

^S = (еде)

где , js?> - произвольные постоянные. После выполнения дифференцирования

31 bft = І-== ¦ ^*0°? . , <Ь , (6.16)

г J m*c4)C- g _ 2ІрГ

леїв с

* бг/coJe je З ^At_

X^ гккіггтиго UTkX.* MMnvnw^o

г (Я CLU ^ C_Tt „__

b^ " '(6Д7

о CyW _ } Чк At

„ JA -

Композиты импульса

^-/Ч^тЧ^в"-^ - , (6.19)

F © 0

P4,= б:= е'%вЧг*со*вв ) . (6.21)

Шесть произвольных постоянных

. Ь . fr». Ь (6-22)

называют каноническими элементами Якоби или просто элементами Якобй /16, с.465/.

Уравнений (6.1t) и (6Д8) определяют траекторию, причем, как это видно из (6Д8), Dtta является не плос^ кой, а пространственной кривой. Рассмотрим (6.18) более подробно. Вычислим интеграл

І I ГУ MWM^ ) (в.23)

о Yct <lo4*&

и преобразуем

? и А» ^

(6.24)

+0 t. Ь

3 2 Здесь мы воспользовались формулами (5,26), (5,38) и (6.17). Подставляя (6.23) и (6.24) в (6.18), получим

Hq=JW^ с*-**-1Лм<Ц ). (б-25)

\ \

Сравнивая это выражение с (5.36) и (5.37), находим

, ff- ОС со* і , (б2б)

6* a Vtib , M , ? 3 - 5 .

где -ItS- кеплеровы элементы орбиты (угол наклона и долгота восходящего узла).

Таким образом, (6.25) приобретает вид

"Ц^ С*-*- и dt ) . (6.27)

Мы снова пришли к выводу о том, что в случае движения пробного тела в поле вращающегося центрального тела орбита пробного тела прецессирует с угловой скоростью Лм вокруг вектора S0 ,а угол наклона при этом остается постоянным.

Придадим уравнению (6. 27) другой вид. Введем обозначение t

frtt)-SlM , (6.28)



которое указывает на изменение (вращение) долготы восходящего узла во времени. Тогда

ЦЄ- Ц<і Vvn ) . (6.29)

Рассмотрим уравнение (6,29) в случае i^V/2* При этом имеем ^ \

Ч>» Jftndt--^rs ^ ' (6-3°>

t* t Q

Здесь для простоты положено .

Выражение (6.ЗО) можно толковать как формулу для угла, на который закручивается траектория пробного тела при его движении в поле вращающегоая центрального тела. Применим (6.ЗО) к инфинитному движению. Для преобразования подынтегрального выражения в (6. ЗО) воспользуемся нерелятивистскими формулами

33 ttt*fd*V= Mdt , Y = - . (6.31)

Л + есоач»

Тогда 7/%

ф=2imS. + (632)

Mp Mpcz

Нел и учесть, что M^tnVotn » p=aU*-0 Э е»Л , ъп=аQf (6.33)

где V0 - начальная скорость; 7„- прицельное расстояние, то имеем

і л 4ySo

*= VeIn С* ' (6'34)

Для светового луча (6.34) приобретает ввд

(J)s А * (6.35)

91I ** *

Этот результат полностью согласуется с формулой Скроцко-го (4.20), полученной на основе метода Рытова. Кручение траектории Al, с.31; 26,, сД7/

^c XT" Wt5-T- Vc*** • 6/

где cl? - элемент траектории.

Изучим теперь другое уравнение траектории - (6Д7). Если сделать подстановку

Э ш ^in ^ . ліп stf t (6.37)

то

Q / t gl 1 Ъсо**в-сх>*Н sfrinV-itf e" '(6.38) о V * tooft0 ° / \

Во втором интеграле в (6.17) под интегральную функцию

разложим в ряд по степеням :

(YV- Vn1C2) е"= 2 m E + + ^ C^W2y ш.

+ Am E- • (6.39)

Здесь rI ^ - гравитационный радиус центрального тела, Б - нерелятивистская энергия, причем считалось, что в этом приближении

34 L= тс4+Е. (6.40)

Тогда

S

17

чЛ^і --тТ-

oC

SL

*

, 2 (В.41)

В случае, когда t>=0 , ^tot интеграл приобретает вид

о г*

\ . , ,(6.42)

Релятивистские поправки в первых двух скобках под корны і сказываются на не представляющем особого интереса /14/ изменении связи между энергией И моментом частицы и параметрами его ньютоновой орбиты. Изменение же коэффици ента при 2 приводит к более существенному эффект у-

к систематическому (вековому) смещению перигелия орбиты (если начальная орбита является эллипсом).
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed