Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Для интереса выберем второй путь. Запишем (5.5):
<30Чг-О-^)Р2-^г(Р0)= ImtC8 . (6.3)
Учитывая (6.2), получим нужное нам уравнение Гамильтона - Як об и
„oo/3S\* 21К/Э5 А/пі**
В сферической системе координат вектор-потенциал
^0.?, (6.5)
если G^ - единичный вектор в направлении координатной линии <р . Тогда в этой системе уравнение (6.4) будет иметь вид
% C34; - G 1Лэг' + Va
2 в Эв г *
Здесь введены обозначения
?-'=11-?), ь-ц^. (6.7,
Полный интеграл уравнения (6.6) ищем в виде
SdAtfl* ) = + so*.©) , (6-8>
зо где 6 - неизвестная постоянная; SCi,9) _ неизвестная функция. Подставляя (6.8) в (6.6), имеем
<6 t - Jy Y К ^rl ) + гг
Э© '
¦ ^ML= mV. <6-9>
7. 0 J tL
В этом уравнении переменные разделяются, если положить
btt.O) « ^ Св) -V R . (6.10)
Тогда вместо (6.9) получим систему gtt = Ot4
30. C0"te, Ot4 2«Г? Л (6.11)
в которой Cc - новая неизвестная постоянная. Отсюда находим в _J—,
Ih'-Se d® • {6.12)
S
RCt)= j/o
•V-rnVje'-^--^^ di , (6.13)
г« Tt
чі
где ч. - некоторое начальное расстояние. Теперь
(6.14)
Это решение содержит необходимое число произвольных постоянных (к (6. 14) можно добавить аддитивную постоянную) и, следовательно, является полным интегралом /25/ рассматриваемого уравнения Гамильтона - Якоби.
Решение канонической системы Гамильтона есть /19, с.402/
^S = (еде)
где , js?> - произвольные постоянные. После выполнения дифференцирования
31 bft = І-== ¦ ^*0°? . , <Ь , (6.16)
г J m*c4)C- g _ 2ІрГ
леїв с
* бг/coJe je З ^At_
X^ гккіггтиго UTkX.* MMnvnw^o
г (Я CLU ^ C_Tt „__
b^ " '(6Д7
о CyW _ } Чк At
„ JA -
Композиты импульса
^-/Ч^тЧ^в"-^ - , (6.19)
F © 0
P4,= б:= е'%вЧг*со*вв ) . (6.21)
Шесть произвольных постоянных
. Ь . fr». Ь (6-22)
называют каноническими элементами Якоби или просто элементами Якобй /16, с.465/.
Уравнений (6.1t) и (6Д8) определяют траекторию, причем, как это видно из (6Д8), Dtta является не плос^ кой, а пространственной кривой. Рассмотрим (6.18) более подробно. Вычислим интеграл
І I ГУ MWM^ ) (в.23)
о Yct <lo4*&
и преобразуем
? и А» ^
(6.24)
+0 t. Ь
3 2 Здесь мы воспользовались формулами (5,26), (5,38) и (6.17). Подставляя (6.23) и (6.24) в (6.18), получим
Hq=JW^ с*-**-1Лм<Ц ). (б-25)
\ \
Сравнивая это выражение с (5.36) и (5.37), находим
, ff- ОС со* і , (б2б)
6* a Vtib , M , ? 3 - 5 .
где -ItS- кеплеровы элементы орбиты (угол наклона и долгота восходящего узла).
Таким образом, (6.25) приобретает вид
"Ц^ С*-*- и dt ) . (6.27)
Мы снова пришли к выводу о том, что в случае движения пробного тела в поле вращающегося центрального тела орбита пробного тела прецессирует с угловой скоростью Лм вокруг вектора S0 ,а угол наклона при этом остается постоянным.
Придадим уравнению (6. 27) другой вид. Введем обозначение t
frtt)-SlM , (6.28)
*о
которое указывает на изменение (вращение) долготы восходящего узла во времени. Тогда
ЦЄ- Ц<і Vvn ) . (6.29)
Рассмотрим уравнение (6,29) в случае i^V/2* При этом имеем ^ \
Ч>» Jftndt--^rs ^ ' (6-3°>
t* t Q
Здесь для простоты положено .
Выражение (6.ЗО) можно толковать как формулу для угла, на который закручивается траектория пробного тела при его движении в поле вращающегоая центрального тела. Применим (6.ЗО) к инфинитному движению. Для преобразования подынтегрального выражения в (6. ЗО) воспользуемся нерелятивистскими формулами
33 ttt*fd*V= Mdt , Y = - . (6.31)
Л + есоач»
Тогда 7/%
ф=2imS. + (632)
Mp Mpcz
Нел и учесть, что M^tnVotn » p=aU*-0 Э е»Л , ъп=аQf (6.33)
где V0 - начальная скорость; 7„- прицельное расстояние, то имеем
і л 4ySo
*= VeIn С* ' (6'34)
Для светового луча (6.34) приобретает ввд
(J)s А * (6.35)
91I ** *
Этот результат полностью согласуется с формулой Скроцко-го (4.20), полученной на основе метода Рытова. Кручение траектории Al, с.31; 26,, сД7/
^c XT" Wt5-T- Vc*** • 6/
где cl? - элемент траектории.
Изучим теперь другое уравнение траектории - (6Д7). Если сделать подстановку
Э ш ^in ^ . ліп stf t (6.37)
то
Q / t gl 1 Ъсо**в-сх>*Н sfrinV-itf e" '(6.38) о V * tooft0 ° / \
Во втором интеграле в (6.17) под интегральную функцию
разложим в ряд по степеням :
(YV- Vn1C2) е"= 2 m E + + ^ C^W2y ш.
+ Am E- • (6.39)
Здесь rI ^ - гравитационный радиус центрального тела, Б - нерелятивистская энергия, причем считалось, что в этом приближении
34 L= тс4+Е. (6.40)
Тогда
S
17
чЛ^і --тТ-
oC
SL
*
, 2 (В.41)
В случае, когда t>=0 , ^tot интеграл приобретает вид
о г*
\ . , ,(6.42)
Релятивистские поправки в первых двух скобках под корны і сказываются на не представляющем особого интереса /14/ изменении связи между энергией И моментом частицы и параметрами его ньютоновой орбиты. Изменение же коэффици ента при 2 приводит к более существенному эффект у-
к систематическому (вековому) смещению перигелия орбиты (если начальная орбита является эллипсом).
