Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
1. Положим S0-O, Vе» О , т.е. рассмотрим случай быстрых частиц. При этом (5.13) и (5.14) запишутся как
M=O , (5.16)
Усредним (5.17) по некоторому характерному времени Tf тогда -+>
ЗГ-&15Л] - (518)
где Q - эксцентриситет гиперболы. Отсюда видно, что вектор "К вращается в плоскости орбиты с угловой скоростью
H =JLL- ЇЇ (5Д9)
06A ТЕЄ .
Подставим в (5.19) выражения
E=-Sf^ , (5-2°)
где Ol- действительная полуось гиперболы. Тогда для угла поворота вектора А получим выражение
bq^J^ ^Apl*- , (5.21)
* с*а е с2 tIll 1
в котором 4Ln - прицельное расстояние. Эта формула справедлива также и для светового луча.
Выражение (5.21) можно вывести и не прибегая к процедуре усреднения. Для этого перепишем (5.17) следующим образом:
(- A ^ 1<?„AW ) . (5.22)
Здесь использовано соотношение
26 Как видно из (5.22), вектор А вращается в плоскости орбиты с угловой скоростью
Я 4xm F (5.24)
ЛГ ii
п С
Отсюда Tm
м- I^dV = 4?" • (5:25)
Таким образом, мы снова получили выражение (5.21).
2. Рассмотрим общий случай, когда Si0^ о • Из уравнения (5.13) следует, что орбита пробного тела прецессирует вокруг с угловой скоростью
О -J** S (5.26)
Величина M при этом остается неизменной.
Из (5ДЗ) можно извлечь и другие выводы. Для этого осуществим его интегрирование. Мы не будем здесь прибегать «^Процедуре усреднения. Направим ось Z вдоль вектора S0. Тогда (5.13) в компонентах запишется как
<Ш*= n м V\ (5.27)
<u titM"/ » du dcMn* »dt
Последнее уравнение дает
M2- const. (5.28)
Иэ первых двух уравнений вытекает соотношение
CMjt + іMy)= + . (5-29)
Интегрируя это выражение, имеем
, С Л , , <? \ (5.30)
My= M9-Oinа* + 5.) ,
если ~ проекция вектора J^ на экваториальную плоскость; S9 - начальная фаза вращения вектора Если от постоянной S0 перейти к привычной нам из небесной механики долготе восходящего угла S , to (5.30) прибретет вид
MK=M9/mi(^MdbS) t Му»Мас*бфі*іи*\ M1=MJ.(5.31)
27 Данным решением уравнения (5ДЗ) можно воспользоваться для нахождения явного вида уравнений траектории. Действительно, мы знаем, что
M- tip} , Ctfi)«0. (5.32)
Подставляя сюда (5.31), получим
к M3 мп( JailJUJ) - у Мэс<»с$Лн dW 5) ¦ z « 0. (5.33)
Если Лм«0 ! то это есть уравнение плоскости, т.е. уравнение одной из поверхностей, на которой лежит траектория. Введем сферические координаты If,9 , ^ j
X^cOoo botKf f у» C06O -otnM* » l**Z*tY|0 (5.зй)
и перепишем в них (5.33), Тогда
Введя понятие угла наклона орбиты 1 , т.е. угла между векторами M и So , запишем
M3-M Aini , M^«(6.3Є) и представим (5.35) в виде
Ia Є- -Ці AinC Ч>- Jsil^t-S) . (5.37)
Вспомним теперь, что в иерелятйвйстском приближении между переменными 4: и 1 существует связь Дв, c.45/j
W У Уо •«• . <5-38)
ІЖ^тиГЖ
Воспользуемся этим выражением для исключения времени из (5.37). Тогда получим
Це-ЦІ-Wm»-«- Lo ^ ¦ ) (5-39)
Это выражение является одним из уравнений траектории или, другими словами, уравнением одной из поверхностей, на которой лежит траектория. Следует Заметить, что (5.39) не Является уравнением плоскости.
Перепишем (5,39), введя обозначение
28 Тогда "
Ц е - Ц і п (Л?- <к*г) ) . (5.41)
Аналогичным образом можно было бы получить и второе уравнение траектории, если проинтегрировать (5.14) и воспользоваться соотношением
^ *)«¦{¦?-*ттд • (5-42)
Однако мы на этом останавливаться не будем, а интересующее нас второе уравнение траекторий будет получено дальше довольно просто - на основе мэ*оДа Гамильтона - Якоби.
В заключение дадим еще одну запись соотношения (5.42). Для этого введем обозначения
- , -f , (5.43)
которые являются соответственно ^KCtieнгрйситетом и параметром орбиты. Теперь (8.42) приобретает вид
ъ* P/U* Ъа>*ч> ) u <5-44)
где ч^ - угол мэжду векторами ^ и А .
S 6« Движение в поле вращающегося тела и уравнение Гамильтона^ Як об и
Одним из самых дффекти&ных Методбв рассмотрения задач механики теории тяготения Эйнштейна является метод Гамильтона - Якоби, заимствованный из классической механики.
Уравнение Гамипьтойа-Якоби для пробного тела во внешнем гравитационном поле имеет вид
g^lL m*c* (6.1)
* эх" ЭХ" '
где m - инвариантная масса пробного тела. Решение этого
уравнения в случае задачи о движении в центральном поле приведено в работе /14/. Интегрирование и подробное исследование (6,1) для задачи о движении в поле врашакщегося
29 центрального тепа, основанное на метрике первого приближения (1.21), осуществлено в нашей работе /24/. На разделение переменных в (6.1) для метрики Keppa указано Картером /14, с.417/. Здесь мы рассмотрим уравнение (6.1) в связи с метрикой первого приближения (1.32) и применительно к задаче о движении в поле вращающегося центрального тела.
Запишем явный вид уравнения (6.1) в нашем случае. Это можно сделать двояко: подставляя в (6.1) значения из (1,15), (1,18) и (1.22) или исходя из соотношения (5.5) с подставленными в него классическими выражениями
?>S 2 S
t="at ' р = дТ • <6-2>
