Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Метод Рытова позволяет определить не только ход лучей, но и изменение характера поляризации волны вдоль луча. Скроцкий отмечает: "При распространении плоской волны вблизи вращающегося массивного твла траектория луча, вообще говоря, не является плоской кривой, а испытывает кручение в сторону вращения тела. При этом имеет место поворот плоскости поляризации, пропорциональный моменту импульса вращающегося тела. Замечательно, что плоскость поляризации лучей, исходящих из полюсов вращающегося тела и распространяющихся вдоль оси вращения, также поворачивается на некоторый угол в сторону вращения тела" /21, с. 73/.
Переходим к изложению этой задачи на основе метрики (1.3 2). Учитывая, что в рассматриваемом случае мы имеем дело с быстрым движением ( Ca » U , с2 — vz), метрику (1.3 2) можно брать в виде
20 Уравнения Максвелла в гаком стационарном поле тяготения формально совпадают с видом этих уравнений в материальных средах /14, с.329/;
E=-^lf , аіЛ-о. (42)
Здесь векторы электрической и магнитной индукций равны соответственно
3=?E-t3vh, , (4.3)
где .
Поскольку рассматриваемый процесс является периодическим (СО =CK, К - волновой вектор), то (4«2) можно переписать следующим образом:
тгоІЕ +1??"] ),
чЛЙ- ivc^E-І^НЗ), (4-5)
Следуя Рытову, решение этой системы ищем в виде
"TT"6 ' • (4.6)
Далее, разложим функции E и H в ряд по степеням ^ :
E4 = Ec+ . . (4.7)
Подставляя (4.7) в (4.5), получим в нулевом приближении следующую систему уравнений для определения Ee и Ht :
-tv<P-3 ,E0I -/м = о, / ч
(4.8)
й.] = о.
21 Эта система линейных однородных уравнений будет иметь нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю, т.е.
CvcP-^)* - -О . (4.9)
Мы получили обобщенное уравнение эйконала
V V - 3 « Дм S , (4.10)
где 2 - единичный вектор в направлении распространения волны в данной точке. Теперь система (4.8) запишется как
-t^Eol + Ц..0 , E0 + L 2 H.ls О . (4Д1)
Решение (4.11) можно записать в форме
to'U+U, H.^J-^a^. J4"1? >
где и - некоторые произвольные функции; Я и ? -
единичные векторы главной нормали и бинормали к лучу, которые совместно с вектором б образуют ортогональный репер. Уравнения первого приближения, из которых можно определить I1 и I2 , таковы:
^*-?.H^i-v^f^-^U.H-^t^.H.l f (4ДЗ)
-/I7H<+1,] = -toiE.* ^ tvt. ЕЛ .
Учитывая (4ДО), имеем
te^l OtH.- ) ,
= (4Д4>
Условие разрешимости (4.14) состоит в ортогональности их правых частей к каждому из линейно независимых решений транспонированной однородной системы. Из этих условий следует важное соотношение
ч- IiotT) = , (4.15)
а
ф = f (4.16)
где kP - угол между главной нормалью и вектором Е# .
В дифферрнципльной .геометрии доказано тождество /21, с.7Я/
22 П *ьоІ П + ї+и>{ fc = І ч- Є ЧоІ е (4.17)
где - радиус кручения луча. Подставляя (4Д7) в
(4.15) и имея в виду, что V )= Э/Э S ( dS - элемент длины дуги, отсчитываемый вдоль кривой), получим уравнение
i- + A- Soot g в (4.18)
dS 2
Это выражение и есть закон поворота плоскости поляризации электромагнитной волны при ее распространении в поле тяготения сферического вращающегося массивного тела. Для лучей света, идущих от полюса вдоль оси вращения, поворот
плоскости поляризации равен углу
= , <4-19)
где R - радиус; - угловой момент центрального тела. При распространении волны в направлении, параллельном оси вращения тела, луч света испытывает не только эйнштейновское искривление, но и закручивается в сторону вращения тела на угол
(р д 4 * V (4.20)
где rZn - кратчайшее расстояние от тела до траектории светового луча. Поворот плоскости поляризации с учетом кручения будет
= • (4-21) Глава 2
О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТГЭ
8 5. Применение векторных элементов M и А в случае инфинитных движений
—> -*•
В предыдущей главе векторные элементы M и А применялись в исследовании финитных движений. Здесь они используются для рассмоїрения инфинитных движений материальной частицы в поле вращающегося центрального тела/11/. Исходим из мэтрики (ЗД)
^ CU4oLx, - UslJkz- U3tClx,) сА4г . (5Д)
При этом лагранжиан будет иметь вид
1-iH.g.w/t.«af. «u>'-yw>-au' (5 2)
Импульс
f Э1 С53)
V 1 ~T- - & •
Энергия
JiCW+v*) + ^CU)*-2l>vMC\fo)
Чтобы составить гамильтониан, выразим энергию через импульс. Тогда
24 что в рассматриваемом приближении эквивалентно
7-4^ = ^ + ,-7^7 +2meUe+®m4(to> . (5.6)
с*
Гамильтониан
4
Составим уравнения движения для векторов:
A= RI--^MLl-г , A«#mm.e . (5l8)
Tornai
Й« f (S.9)
^ЙМ^ Hmm0^M . <5-10>
Находим
t (5ді)
ft-gji.. ^V+?**} |0,to.„АД (Да) (5.12) M і H t* И CtMvjv''
Подс*авляа (8Д1) в (6.12) в (6.9) и (ЗДО), получим
Если p* подставить в (5Д4) из нзрелятивистского закона сохранении энергии
E = ^i -tnU , (5.15)
2ш '
25 а ? заменить на mca, то уравнение (5.13) и (5.14) совпадут с соответствующими уравнениями задачи Лензе -Тирринга.
Переходим к исследованию уравнений (5.13) и (5.14) в случае инфинитных движений.
