Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
U =-? L^ Sol = 3.1 , (3.6)
где введено обозначение
S0-X L-=Ii-^ftVft 1 (3.7)
для момента количества движения системы.
Теперь составим лагранжиан рассматриваемой задачи
L=_mcHT • (3,8)
Для этого из (3.1) находим ds-cctt(b + ^-lUv^v^CU?)^ (3.9)
Подставляя (3.9) в (3.8), имеем
1=-тс*+тси+!*)-~з (U8-3Uv®~ ^v* + 8CUv)). О.ю)
Импульс Гамильтониан
H=* % - L .«.cS Jf-'- mu -V-^r ( Vj'-M) )+
2m і с.2 Zmr
4 (.P 0)
8 m'с4 с,1
Составим уравнения движения. Согласно (2.7) и (2.8),
15
(3.12) H = 1? P] ^ іЯ p l , (здз)
(ЗД4)
Далее, находим.
р ?U P P2 ч 4U
m m с4 2m*c* с11 ' (3.15)
ffljH-JiJLjjf 1,^3), (3.16)
ІH- f -sfe)S1 -m^oл. одт,
Подставляя (ЗД5) - (3.17) в (3.13) и (3.14), имеем
(ЗД8)
Л _ jmuifliAt?M>SL?.l>a||ti«i <3.191
dt mc2^ 1 mclVu •
Усредним (3.18) и (ЗД9) по ньютоновскому эллипсу, В работе /14, с.426/ указывается, что усреднение удобно произвести с помощью параметрического представления зависимости rL от времени при, движении по эллиптической орбите в виде
Схематическое изображение направлений векторных элементов в случае задачи Ленае - Тирринга
IG Например:
T = ±Tu= 1—7_sLl— (3.21)
V T і Ї? 20га3 І U-^coo-p .
Для вычисления ЭТОГО и подобных ему интегралов пользуем с я общей формулой /17, с.397/
гд ^ cU___т ф (<_\
Ju-ecoltH " U-?*)^ (3- 22)
где - полиномы Лежавдра. Причем
$,(.*>-і , P4OO = X , 92сх)= i-UX1-І), ^ = > , ... (3-23)
Учитывая формулу (3.22), находим
T ^ _^_- (3.24)
V аНл-<2*)э/е • В этом параграфе усреднение проводится еще более простым способом, основанным на использовании нерелятивистского закона сохранения момента количества движения. Снова рассмотрим среднее от Ч /?* . Тогда с учетом (2.3) и
(2.27) имеем
т» W і 2*
I а± \ U а JSL \iSL \сА,есо^)ач) . (3.25)
^ T J ^ TW J * TMp г
Этот интеграл очень простoft/К для его вычисления нет необходимости в какой-то специальной формуле типа (3.22). Таким образом,
i = • (3'26) Чтобы (3.26) совпало с (3.24), вспомним, что, согласно кеплеровой задаче /18, с.51),
TM=2mf , , !^а/Т^р^аСЛ-с*), (3.27)
где f - площапь орбиты; ft- малая полуось эллипса. Тогда
і - Ж - J____H /о 0а\
V 4р"" a*J> ~ сиЧА-е*)*'* .
17 Из предыдущего параграфа нам известно, что
Х-о (3.29)
Ь- г»чіЄ-«')>" Т' <3'30)
Далее, находим
1Г _ w ? ^cW me Q
Vtm і -г* ~тмр* аЧі-*1)3'2 • (3-31)
Учитывая эти средние значения, уравнения движения (3.18)
и (3.19) представим в виде
, <3'32>
-IAaXI . (3-33)
Здесь введены угловые скорости
п - 2* s« , V
C*aHA-e2)v* ' (3.34)
—9
где S0- собственный угловой момент шара (системы тел). Вместо двух величин Яи и Лд можно рассматривать общую угловую скорость
Л = ЛА (3.36)
и переписать (3.32) и (3.33) в ввде
^= UtMl , (3.37)
Й-= LSXl . (338)
—т
Отсюда следует, что векторы M и А меняются не по величине, а по направлению. Вектор M прецессирует вокруг S0 <: угловой скоростью (3.34). Вектор же А участвует сразу в двух движениях: в прецессии вокруг Se с угловой скоростью (3,34) и во вращении в плоскости орбиты с угловой г корост ью
18 V Ca»«-«-)*. ІЧРЬ-ЬК&Л. (3-39)
Согласно (3.27),
Y _ 2Уут
(3.40)
с^аЧА-е*)"* c*pTM >
тогда
п 6<r* Wо ^grymCSo ^M ) Z (3 41)
Tpca j>TMc-? * •
Первый член в правой части этого выражения совпадает с угловой скоростью в шварцШильдовой задаче (2.33), а вто^ рой член является поправкой, обусловленной вращением центрального тела.
Как видно из (3.35), релятивистские эффекты, связанные с не ньютонов остью центрального поля и собственным вращением тела, суперпонируют. Таким образом, можно изучать независимо друг от друга эти эффекты (принцип суперпозиции).
В заключение заметим, что SX связана с производными по времени от углов Эйлера $ f Cj и K9 которые определяют ориентацию подвижной системы координат у', н' относительно неподвижной системы X1Z1H (с ортами
\ . V? ). Тогда /19, с.165/
Л-S S2 + I 9 S1, , (3.42)
где Qa ~ единичный вектор линии узлов, которая образуется пересечением плоскостей XУ И х'у'.
Если ось H направить ПО t то, сравнивая (3.42)
и (3.35), получаем
Ssj CfllOik » (3.43)
i = (3.44)
^cwn^ff^6 (3.45)
Изменение Cj за один период равно
Ag=
Аналогично
до- _ Q еи) . .
19 д0 ~~ au-e2>Mc* • (3.47)
В случае, когда t t Gm , т.е. если движение пробного
тела происходит в экваториальной плоскости центрального тела, можно найти абсолютное смещение перигелия за период T /20, с. 35/:
дп А ^ , А ? 6* Y m о Rgrym SQ
+ аСА-е*)Мс* • (3.48)
8 4. Задача Скроцкого
Влияние гравитационного поля вращающегося центрального тела на распространение света было рассмотрено Скроцким в работе /21/. При этом решались уравнения Максвелла для плоской электромагнитной волны методом, развитым Рытовым /22, 23/. Поскольку пространственные масштабы в задачах астрономического характера (Огромны по сравнению с длинами электромагнитных волн, то коэффициенты, входящие в уравнения, оказываются чрезвычайно медленно изменяющимися функциями координат. Поэтому обычно ограничиваются приближением геометрической оптики.
