Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абдильдин М.М. -> "Механика теории гравитации Эйнштейна" -> 3

Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.

Абдильдин М.М. Механика теории гравитации Эйнштейна — М.: Наука, 1988. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): mehteorgraven1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 32 >> Следующая


В ньютоновом приближении для частицы с массой m метрика (2.1) дает кеплеровское движение по эллипсу

^=TrIW . (2-3>

где р - параметр; Q - эксцентриситет; Hj - полярный угол.

Введем декартову систему координат * , у , Z , связанную с орбитальной полярной системой tZ, Ч> соотношениями

X= 7С ог>Ч> , у'=гмч> , ъ'-о (24)

и с ортами t', j ' к' , образующими правую тройку. Направим І/ к перигелию, вдоль линии параметра J) , a Vc' вдоль перпендикуляра к плоскости орбиты.

Далее, в нерелятивистском приближении сохраняются момент импульса

M =I^ P ] (2.5)

и вектор Лапласа /16, с.427/.

совпадающие по направлению с ортами VC' и І . Переходя к релятивистскому приближению можно воспользоваться векторами M и Л в качестве переменных, описывающих движение (векторные элементы). Тогда

IO Я = L^P I + іЛрЗ , (2.7)

Производные rL и P будем подставлять из уравнений Гамильтона

• • <2'9)

Определим гамильтониан H , для чего в требуемом приближении из (2Д) находим

a^cdtQ-^!, ^u'-luv'-,), (2ДОІ

Тогда лагранжиан имеет вид

L=-mc-^-mcl+mCU-?)-|^(U-3Uv4v<) . (2Д1)

Обобщенный импульс t

^=w= о 2H^miT • (2Д2)

И, наконец, гамильтониан

H = V- L= rue«* ^t- mU^tuVW+* v< )-a Pa „ ^Ut зЦ Pj. РЛ

Подставляя (2.13) в (2.9), тіолучим

(2.14)

P 3UP _ ^P2 P

J2U liL. + (2 15)

P- ЪЧ 2тс* ЪЧ • v ' '

Теперь (2.7) запишется как

M = O. (2.1G)

Таким образом, вектор M сохраняется и движение оказывается плоским. ^

Что касается вектора к , го он, если учесть (2.8) и (2.16), изменяется во времени согласно уравнению

11 W-O^ її ) . (2.17)

р (л р >up p8p

При этом

dt Vt/ шг rnv"» тсег гт^г

v ju(izp) ч ^ рч?р)

тс2 7* 2т»с2 г» • (2.18)

Учитывая (2.15) и (2.18), перепишем (2.17):

t *m0 р*? _ > (2.19)

где ^ - оператор э/э^ .

Упростим правую часть этого уравнения, используя нерелятивистский закон сохранения энергии

Е = .р! - , (2.20)

2m 2й '

где а - большая полуось эллипса. Тогда после несложных выкладок (2.19) запишется как

2Що ( 2 г ^,,,XlfMl (2.21) dt" Ci Vm t rj-

или ^

m ca IvUMl . (2.22)

Эти уравнейия имеют довольно простой и наглядный вид, в чем и заключается одно из преимуществ использования векторных элементов ^ , X . Из (2.22) видно, что положение перигелия кегшеровского эллипса (2.3) не остается постоянным во времени. Оно изменяется, причем довольно медленно, из-за множителя 1/с^ в правой части (2.22).

Уравнение (2.21) можно представить и в виде

dA _ At г- и ГМ . > (2.23)

Jf- —г W U Ml+ -?2 [vU Ml

или

12 cLА 2утоИ / 2Е_ . N d 6? (2.24) dt ~ Ca Ъ2 V пі / d.4>

Здесь

^i = Y= со^ч/ ї' + \ . (2.25)

Интересуясь вековым ходом изменения А , усредним правую часть (2.21) по периоду T обращения частицы. Для этого мы должны найти средние значения І Є т

1-і V JSL. г14- (2.26)



Они легко вычисляются, если воспользоваться не релятивистским законом сохранения момэнта количества движения

М-тчЧ . (2'27)

Отсюда находим

(2.28)

Поэтому в (2.26) можно перейти от интегрирования по { к интегрированию по И-* . Тогда

— 2РГ

г* тм J 4 '

тм

_ г* ,

iL - Л1_ С e-t etv^ _ Уте / ^ тм J tI мто v

(2.3D)

г« тм J 1Z мтр

Таким образом, (2.21) приобретает вид

Й. = iZUUi ї Я Tl (2.31)

dt TpCi ,

где

—*

ём=^-=*' , A = Aei4== ymmoG T' .

Из (2.31) видно, что вектор прецессирует вокруг орби-

тального момента M с угловой скоростью

Sl А - ЛЕШ^ ? (2.33)

оставаясь неизменным по величине. Другими словами, вектор А вращается в плоскости орбиты с угловой скоростью (2.33), т.е.

13 Если положение вектора А в плоскости орбиты описывать полярными координатами А и Q , то из (2.33) получим

els / о О N бт*т9 = 6угУ т.__(2.35)

- ^jca ^h/" Tpc1 Ta(Ve1)C1

Изменение полярного угла <j за период T будет равно

. <2-зе>

Это есть известная формула смещения перигелия /13/, Следовательно, метрика первого приближения (1.3 2) правильно объясняет вопрос о смещении перигелия. ^

В заключение заметим, что уравнение (2^21) для А можно проинтегрировать и не прибегая к процедуре усреднения. Тогда получим

A = A0-^ffi-(.2Е* a^)*"! V , (2-37)

(2.38)

Отсюда видно, что А изменяется периодически, a g совершает как периодическое« так и эволюционное движение*

§ 3. Задача Лензе-Тирринга и принцип суперпозиции релятивистских эффектов

Задача о финитном движении материальной частицы в поле вращающегося массивного шара была впервые исследована Лензе и Тиррингом /14, с.426/. Мы рассмотрим ее на основе метрики (1.3 2). Итак,

dS4= Ccl-2U+IiU1)(Wt-U^U) Cdx! - dxj) +

+ Ujdxt + U,clx,)cU . (3.1)

Определим U ^ , причем сделаем это для системы более общей, чем шар, а именно для системы тел, движущихся стационарно в некоторой области. Тогда

14 (3.3)

где - радиус-вектор тел, образующих систему.

Имея в виду} что

J__ 4 . I??«) _

IM1I ~ rI г* ••• •

= +-SrLSLvlS1I, (3.4)

перепишем (3.2):

Sts + ^tfiGfr +

\ т» L^ Lv4^ill . (3.5)

Усредним это выражение по времени. Тогда
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed