Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
В ньютоновом приближении для частицы с массой m метрика (2.1) дает кеплеровское движение по эллипсу
^=TrIW . (2-3>
где р - параметр; Q - эксцентриситет; Hj - полярный угол.
Введем декартову систему координат * , у , Z , связанную с орбитальной полярной системой tZ, Ч> соотношениями
X= 7С ог>Ч> , у'=гмч> , ъ'-о (24)
и с ортами t', j ' к' , образующими правую тройку. Направим І/ к перигелию, вдоль линии параметра J) , a Vc' вдоль перпендикуляра к плоскости орбиты.
Далее, в нерелятивистском приближении сохраняются момент импульса
M =I^ P ] (2.5)
и вектор Лапласа /16, с.427/.
совпадающие по направлению с ортами VC' и І . Переходя к релятивистскому приближению можно воспользоваться векторами M и Л в качестве переменных, описывающих движение (векторные элементы). Тогда
IO Я = L^P I + іЛрЗ , (2.7)
Производные rL и P будем подставлять из уравнений Гамильтона
• • <2'9)
Определим гамильтониан H , для чего в требуемом приближении из (2Д) находим
a^cdtQ-^!, ^u'-luv'-,), (2ДОІ
Тогда лагранжиан имеет вид
L=-mc-^-mcl+mCU-?)-|^(U-3Uv4v<) . (2Д1)
Обобщенный импульс t
^=w= о 2H^miT • (2Д2)
И, наконец, гамильтониан
H = V- L= rue«* ^t- mU^tuVW+* v< )-a Pa „ ^Ut зЦ Pj. РЛ
Подставляя (2.13) в (2.9), тіолучим
(2.14)
P 3UP _ ^P2 P
J2U liL. + (2 15)
P- ЪЧ 2тс* ЪЧ • v ' '
Теперь (2.7) запишется как
M = O. (2.1G)
Таким образом, вектор M сохраняется и движение оказывается плоским. ^
Что касается вектора к , го он, если учесть (2.8) и (2.16), изменяется во времени согласно уравнению
11 W-O^ її ) . (2.17)
р (л р >up p8p
При этом
dt Vt/ шг rnv"» тсег гт^г
v ju(izp) ч ^ рч?р)
тс2 7* 2т»с2 г» • (2.18)
Учитывая (2.15) и (2.18), перепишем (2.17):
t *m0 р*? _ > (2.19)
где ^ - оператор э/э^ .
Упростим правую часть этого уравнения, используя нерелятивистский закон сохранения энергии
Е = .р! - , (2.20)
2m 2й '
где а - большая полуось эллипса. Тогда после несложных выкладок (2.19) запишется как
2Що ( 2 г ^,,,XlfMl (2.21) dt" Ci Vm t rj-
или ^
m ca IvUMl . (2.22)
Эти уравнейия имеют довольно простой и наглядный вид, в чем и заключается одно из преимуществ использования векторных элементов ^ , X . Из (2.22) видно, что положение перигелия кегшеровского эллипса (2.3) не остается постоянным во времени. Оно изменяется, причем довольно медленно, из-за множителя 1/с^ в правой части (2.22).
Уравнение (2.21) можно представить и в виде
dA _ At г- и ГМ . > (2.23)
Jf- —г W U Ml+ -?2 [vU Ml
или
12 cLА 2утоИ / 2Е_ . N d 6? (2.24) dt ~ Ca Ъ2 V пі / d.4>
Здесь
^i = Y= со^ч/ ї' + \ . (2.25)
Интересуясь вековым ходом изменения А , усредним правую часть (2.21) по периоду T обращения частицы. Для этого мы должны найти средние значения І Є т
1-і V JSL. г14- (2.26)
Они легко вычисляются, если воспользоваться не релятивистским законом сохранения момэнта количества движения
М-тчЧ . (2'27)
Отсюда находим
(2.28)
Поэтому в (2.26) можно перейти от интегрирования по { к интегрированию по И-* . Тогда
— 2РГ
г* тм J 4 '
тм
_ г* ,
iL - Л1_ С e-t etv^ _ Уте / ^ тм J tI мто v
(2.3D)
г« тм J 1Z мтр
Таким образом, (2.21) приобретает вид
Й. = iZUUi ї Я Tl (2.31)
dt TpCi ,
где
—*
ём=^-=*' , A = Aei4== ymmoG T' .
Из (2.31) видно, что вектор прецессирует вокруг орби-
тального момента M с угловой скоростью
Sl А - ЛЕШ^ ? (2.33)
оставаясь неизменным по величине. Другими словами, вектор А вращается в плоскости орбиты с угловой скоростью (2.33), т.е.
13 Если положение вектора А в плоскости орбиты описывать полярными координатами А и Q , то из (2.33) получим
els / о О N бт*т9 = 6угУ т.__(2.35)
- ^jca ^h/" Tpc1 Ta(Ve1)C1
Изменение полярного угла <j за период T будет равно
. <2-зе>
Это есть известная формула смещения перигелия /13/, Следовательно, метрика первого приближения (1.3 2) правильно объясняет вопрос о смещении перигелия. ^
В заключение заметим, что уравнение (2^21) для А можно проинтегрировать и не прибегая к процедуре усреднения. Тогда получим
A = A0-^ffi-(.2Е* a^)*"! V , (2-37)
(2.38)
Отсюда видно, что А изменяется периодически, a g совершает как периодическое« так и эволюционное движение*
§ 3. Задача Лензе-Тирринга и принцип суперпозиции релятивистских эффектов
Задача о финитном движении материальной частицы в поле вращающегося массивного шара была впервые исследована Лензе и Тиррингом /14, с.426/. Мы рассмотрим ее на основе метрики (1.3 2). Итак,
dS4= Ccl-2U+IiU1)(Wt-U^U) Cdx! - dxj) +
+ Ujdxt + U,clx,)cU . (3.1)
Определим U ^ , причем сделаем это для системы более общей, чем шар, а именно для системы тел, движущихся стационарно в некоторой области. Тогда
14 (3.3)
где - радиус-вектор тел, образующих систему.
Имея в виду} что
J__ 4 . I??«) _
IM1I ~ rI г* ••• •
= +-SrLSLvlS1I, (3.4)
перепишем (3.2):
Sts + ^tfiGfr +
\ т» L^ Lv4^ill . (3.5)
Усредним это выражение по времени. Тогда
