Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абдильдин М.М. -> "Механика теории гравитации Эйнштейна" -> 2

Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.

Абдильдин М.М. Механика теории гравитации Эйнштейна — М.: Наука, 1988. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): mehteorgraven1988.djvu
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 32 >> Следующая


R"v-f (ід)

ІїїУ1? g'") = ° . ^=0,1,2,5, (1.2)

где (1.1) - уравнения Эйнштейна, а (1.2) - условия гармоничности. (Здесь и далее мы будем придерживаться обозначений Фока /4/.) Причем постоянная 9Є вначале считается неопределенной. Первое приближение Фок строит таким образом, что решает одновременно две задачи: определение метрики в первом приближении и нахождение постоянной Tt . С этой целью (1.1) записывается в ваде

и вводятся предположения: 1) на больших расстояниях разности и *** nePbbie и вторые производные стремятся к нулю как ЧГ1 и, следовательно, можно отбросить второй член левой части (1.3); 2) метрика квазиста-ционарна; 3) возможна замена множителя ^ ec^ при члеяе со второй производной от метрического тензора в (1.3) его псевдоевклидовым значением. При таких допущениях (1.3) примет вид г ^9'"--*^*'-??^). (1.4)

-T-/И ^

В качестве компонент тензора массы T в этом приближения берутся:

C2T0=J) , C4Toi=PVi , CeTitc=O , (1.5)

где р - плотность массы; V^ - компоненты скорости; і , К =1,2,3. Тогда (1.4) запишется в виде следующей системы уравнений:

pi оо Л

д Q01=-^pvi, (Lt6)

Теперь определяется постоянная Э€ . Для этого применяется принцип соответствия.

Запишем интервал в ньютоновом приближении

ds2= CC2-2U)cU*- Jxf-dxJ-cJLAi , (1.7)

где U - ньютонов потенциал. Составим

Г = -51* "TT • U.e)

Применим оператор Лапласа к обеим частям этого выражения. Тогда

Согласно ньютоновской теории тяготения,

Д U = - А Эту? . (1ДО)

Подставляя это в (1.9), имеем

д<Г—. (їді)

Сравнивая (1.11) с первым из уравнений системы (1.6), находим

(1Д2)

с*

Зная это, запишем вторъе уравнение системы (1.6) ч виде

6 Af=-^Vi . (1.13)

Введем вспомогательную функцию U^f удовлетворяющую уравнению

AUl=-^pVl f (1Д4)

и получим

^i = IxOl (1Д5)

При ЭТОМ

Такую функцию Фок называет по аналогии с электродинамикой вектор-потенциалом тяготения. Далее,

А Г=- ^f . (1Д7)

. аде)

Напомним, что

(1.19)

Итак, определены все контравариантные составляющие метрического тензора. Ковариантные же составляющие выглядят как

<а„о=с*-2и, з*»^ui .

Таким образом, метрика первого приближения Фока имеет вид /4,с.271/

dS*= Cc*-2U)d*2-(.H -^Xdxf + + ) +

+ I", Cu1Jx1 + Ui^dxl-«• )cU . (1.21)



7 Относительно (1.21) можно сделать следующие замечания /11, С.6; 12, с.8/:

1. В 9 оо компоненте метрического тензора отсутствует релятивистская добавка, тогда как такие добавки имеются в C^ ^vc и •

2. Если применить (1.21) к планетной задаче, то не получится правильное выражение для смещения перигелия.

3. Для островной системы Udta- d** + dx? и- dx* .

То есть релятивистская поправка к CJ00 должна иметь такой же порядок; как и поправка к 9гк*

Учитывая эти замечания,, определим поправку к (J00. С этой целью составим уравнение относительно

оо \ . 2U . И 99ч

$ ^C1 ' (1-22)

где ср - неизвестная пока функция. Тогда при сохранении предположения о квааистационарности метрики имеем

Соответствующее уравнение Эйнштейна будет

R00= - ^f CT00- { q00 T ) , (1.24)

где /4, с.324/

C2T00=PU+ ^iСт" +n-u)l ,

C8T01=PVi , (1.25)

C1Tilt =JJViVlt -Pitc

(здесь П ~ упругая энергия единицы массы, - трехмерный тензор напряжений).

В рассматриваемом приближении

т"- J- ? 1?vM\-u)- .

Теперь (1.24) запишется в виде А а „оо ги »и 2 f эи 4? - Лу* г

+ 1 . (1.28)

8 Отсюда с учетом (1.22) для неизвестной функции ф ио-лучим уравнение

> (1-29)

решение которого будет

гъ „ 2 0 грЧІУ^п-иУсахУ 9 VE=UiJll1

Соответствующая с^00 ковариантная компонента

с4-20--?'-

(!.ЗО)

r,p'(jv*+n-U)- ?«« .(dxf. (!.зі) J

2 X Ct

Таким образом, метрика первого приближения Фока приобретает окончательный вид /4, 11/ # ^ ^L2u.-ff- ^Ч^ЧП-О)'-^

1~ ^Z* *

+ + + и,ах,)<U . (1.32)

Эту метрику мы будем рассматривать как метрику первого приближения механики тел ТГЭ. Отсюда видно, что уже первое приближение в теории гравитации Эйнштейна приводит к учету нелиней нэсти поля, искривления трехмерного пространства, внутренней структуры и векторного гравитационного поля, связанного с вращением. Тогда как теория гравитации Ньютона с интервалом

OlSa=Cce-2U JcUe-JxJ - сіхї - dx\ (1.33)

основана на допущениях линейности гравитационного поля, евклидовости трехмерного пространства и отсутствия поля сил, связанного с вращением.

Проверим теперь метрику (1.32) на примере ряда хорошо известных задач механики ТГЭ.

§ 2. Задача о движении в центральном поле

Обычно эта задача решается на основе метрики Шварц-шильда путем интегрирования уравнений геодезической ли~

9 нии /13/ или уравнения Гамильтона - Якоби /14/. Здесь она будет рассмотрена на базе метрики (1.32) в представлении векторов M (момент импульса), А(вектор Лапласа) и методом усреднения /11, с.8; 15, с.11/.

Запишем метрику первого приближения (1.32), которая в данном случае принимает вид

. (2д>

U= > (2.2)

где Wi0 - масса центрального тела. Интеграл, зависящий от внутренней структуры в (1.32), пока опущен, поскольку вопрос о роли внутренней структуры будет обсуждаться в главе 4.
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed