Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
R"v-f (ід)
ІїїУ1? g'") = ° . ^=0,1,2,5, (1.2)
где (1.1) - уравнения Эйнштейна, а (1.2) - условия гармоничности. (Здесь и далее мы будем придерживаться обозначений Фока /4/.) Причем постоянная 9Є вначале считается неопределенной. Первое приближение Фок строит таким образом, что решает одновременно две задачи: определение метрики в первом приближении и нахождение постоянной Tt . С этой целью (1.1) записывается в ваде
и вводятся предположения: 1) на больших расстояниях разности и *** nePbbie и вторые производные стремятся к нулю как ЧГ1 и, следовательно, можно отбросить второй член левой части (1.3); 2) метрика квазиста-ционарна; 3) возможна замена множителя ^ ec^ при члеяе со второй производной от метрического тензора в (1.3) его псевдоевклидовым значением. При таких допущениях (1.3) примет вид г ^9'"--*^*'-??^). (1.4)
-T-/И ^
В качестве компонент тензора массы T в этом приближения берутся:
C2T0=J) , C4Toi=PVi , CeTitc=O , (1.5)
где р - плотность массы; V^ - компоненты скорости; і , К =1,2,3. Тогда (1.4) запишется в виде следующей системы уравнений:
pi оо Л
д Q01=-^pvi, (Lt6)
Теперь определяется постоянная Э€ . Для этого применяется принцип соответствия.
Запишем интервал в ньютоновом приближении
ds2= CC2-2U)cU*- Jxf-dxJ-cJLAi , (1.7)
где U - ньютонов потенциал. Составим
Г = -51* "TT • U.e)
Применим оператор Лапласа к обеим частям этого выражения. Тогда
Согласно ньютоновской теории тяготения,
Д U = - А Эту? . (1ДО)
Подставляя это в (1.9), имеем
д<Г—. (їді)
Сравнивая (1.11) с первым из уравнений системы (1.6), находим
(1Д2)
с*
Зная это, запишем вторъе уравнение системы (1.6) ч виде
6 Af=-^Vi . (1.13)
Введем вспомогательную функцию U^f удовлетворяющую уравнению
AUl=-^pVl f (1Д4)
и получим
^i = IxOl (1Д5)
При ЭТОМ
Такую функцию Фок называет по аналогии с электродинамикой вектор-потенциалом тяготения. Далее,
А Г=- ^f . (1Д7)
. аде)
Напомним, что
(1.19)
Итак, определены все контравариантные составляющие метрического тензора. Ковариантные же составляющие выглядят как
<а„о=с*-2и, з*»^ui .
Таким образом, метрика первого приближения Фока имеет вид /4,с.271/
dS*= Cc*-2U)d*2-(.H -^Xdxf + + ) +
+ I", Cu1Jx1 + Ui^dxl-«• )cU . (1.21)
7 Относительно (1.21) можно сделать следующие замечания /11, С.6; 12, с.8/:
1. В 9 оо компоненте метрического тензора отсутствует релятивистская добавка, тогда как такие добавки имеются в C^ ^vc и •
2. Если применить (1.21) к планетной задаче, то не получится правильное выражение для смещения перигелия.
3. Для островной системы Udta- d** + dx? и- dx* .
То есть релятивистская поправка к CJ00 должна иметь такой же порядок; как и поправка к 9гк*
Учитывая эти замечания,, определим поправку к (J00. С этой целью составим уравнение относительно
оо \ . 2U . И 99ч
$ ^C1 ' (1-22)
где ср - неизвестная пока функция. Тогда при сохранении предположения о квааистационарности метрики имеем
Соответствующее уравнение Эйнштейна будет
R00= - ^f CT00- { q00 T ) , (1.24)
где /4, с.324/
C2T00=PU+ ^iСт" +n-u)l ,
C8T01=PVi , (1.25)
C1Tilt =JJViVlt -Pitc
(здесь П ~ упругая энергия единицы массы, - трехмерный тензор напряжений).
В рассматриваемом приближении
т"- J- ? 1?vM\-u)- .
Теперь (1.24) запишется в виде А а „оо ги »и 2 f эи 4? - Лу* г
+ 1 . (1.28)
8 Отсюда с учетом (1.22) для неизвестной функции ф ио-лучим уравнение
> (1-29)
решение которого будет
гъ „ 2 0 грЧІУ^п-иУсахУ 9 VE=UiJll1
Соответствующая с^00 ковариантная компонента
с4-20--?'-
(!.ЗО)
r,p'(jv*+n-U)- ?«« .(dxf. (!.зі) J
2 X Ct
Таким образом, метрика первого приближения Фока приобретает окончательный вид /4, 11/ # ^ ^L2u.-ff- ^Ч^ЧП-О)'-^
1~ ^Z* *
+ + + и,ах,)<U . (1.32)
Эту метрику мы будем рассматривать как метрику первого приближения механики тел ТГЭ. Отсюда видно, что уже первое приближение в теории гравитации Эйнштейна приводит к учету нелиней нэсти поля, искривления трехмерного пространства, внутренней структуры и векторного гравитационного поля, связанного с вращением. Тогда как теория гравитации Ньютона с интервалом
OlSa=Cce-2U JcUe-JxJ - сіхї - dx\ (1.33)
основана на допущениях линейности гравитационного поля, евклидовости трехмерного пространства и отсутствия поля сил, связанного с вращением.
Проверим теперь метрику (1.32) на примере ряда хорошо известных задач механики ТГЭ.
§ 2. Задача о движении в центральном поле
Обычно эта задача решается на основе метрики Шварц-шильда путем интегрирования уравнений геодезической ли~
9 нии /13/ или уравнения Гамильтона - Якоби /14/. Здесь она будет рассмотрена на базе метрики (1.32) в представлении векторов M (момент импульса), А(вектор Лапласа) и методом усреднения /11, с.8; 15, с.11/.
Запишем метрику первого приближения (1.32), которая в данном случае принимает вид
. (2д>
U= > (2.2)
где Wi0 - масса центрального тела. Интеграл, зависящий от внутренней структуры в (1.32), пока опущен, поскольку вопрос о роли внутренней структуры будет обсуждаться в главе 4.
