Философия - Савкин Н.С.
ISBN 5 -7103-0712-2
Скачать (прямая ссылка):
Казалось, что проблема обоснования математики решена раз и навсегда. Однако уже при жизни Кантора стали обнаруживаться парадоксы, т. е. формально-логические противоречия, которые воз
§ 3. Проблема обоснования математики 257
пикали и содержательной теории множеств, примем число пх росло. В качестве примера приведем парадокс, обнаруженный самим Кантором: мощность или кардинальное число множества всех множеств должно быть больше мощности любого множества, ибо оно по условию составляет множество всех множеств. По по теореме Кантора кардинальное число множества подмножеств любого множества не больше кардинального числа этого множества. Это противоречит условию, что множество всех множеств имеет наибольшее кардинальное число.
Подобные парадоксы поставили под сомнение теоретико-множественное обоснование математики. Появились разногласия в трактовке ее принципиальных вопросов. Возникают различные школы обоснования математики, по-разному видящие решение этой проблемы. Данная ситуация и составила третий кризис оснований математики.
Рассмотрим суть основных идеи этих школ. Как уже не раз отмечалось, математика -- чрезвычайно абстрактная наука, в ней нет экспериментальных методов доказательства, в силу чего на первый план выходят логические средства ее развития. Абсолютизируя это обстоятельство ее философы, логики и математики англичанин Б. Рассел (1872 1970), апгло-амерпкапекпй ученый А. II. Уайт-хед (1861 1947) и немец Г. Фреге образовали школу логицизма в обосновании математики. Ее основоположником был Фреге.
В логицизме математика и логика отождествляются, рассматриваются как разные стадии ее развития. По Расселу, логика - юность математики, а математика - зрелость логики. Очевидно стремление всю чистую математику редуцировать к логике. Такие попытки или по крайней мере идеи восходят еще к Декарту н Лейбницу. Декарт под влиянием успехов алгебраических методов геометрии высказывал мысль о всеобщей универсальной математике с универсальным, дедуктивным методом логики в познании. Лейбниц считал, что вычисления можно применять в любых рассуждениях вообще, а не только в математике, и мечтал о создании такого всеобщего метода, с помощью которого можно было бы любое рассуждение заменить вычислением. Поэтому его часто называют родоначальником математической логики, хотя она была разработана в трудах прежде всего Дж. Буля.
Для того чтобы свести математику к логике, надо было ограничить ее небольшим числом основных исходных понятий и утверждений. Такую работу провели немецкие математики Р. Дедекпнд (1831 -1916), К. Вейерштрасс (1815 1897), Г. Фреге, Г. Кантор, итальянский'математик Дж. Пеано (1858 -- 1932) и др. Они в терминах арифметики определили целый ряд математических тгоня
258 Глава 14. Философские проблемы математики
тип. Конечной целью арпфметпзацпн анализа п математики вообще являлось то, чтобы всю математнк'у построить на учении о натуральном числе, к которому легко сводятся все числа.
Первая конкретная попытка реализации программы логицизма принадлежит Фреге. Он сводил исходные понятия арифметики к понятиям логики. Л так как вся чистая математика логически может быть выведена из арифметики натуральных чисел, то предполагалось, что для осуществления этой программы достаточно определить в терминах логики только основные понятия арифметики и доказать ее основные положения как теоремы логики. Поэтому главной задачей Фреге было построение такой формальной логической системы, из которой можно было бы вывести всю арифметику. Он первый, как уже было отмечено, дал определение натурального числа. Под логикой Фреге понимал математическую логику.
Для сведения всей математики к математической логике кроме логического определения чисел надо было дать аналогичного типа определения множеств, множества, множеств чисел п т. д. Рассел представил общую теорию множеств как часть логики, но при этом постулировал ряд аксиом, из которых не все можно было признать относящимися к логике. Поэтому возникли возражения ряда ученых против выведения чистой математики из этих аксиом, т. е. сведения ее к логике и тем самым достижения окончательного обоснования. Невозможность решения этой проблемы вытекает и из того, что в теории всегда есть положения, которые невозможно обосновать внутри нее, ее средствами. Например, при аксиоматическом построении теории аксиомы принимаются без доказательств, при обосновании математики некоторые принципы должны быть приняты па веру или интуитивно. Количество этих предпосылок можно свести к минимуму, но нельзя ликвидировать их полностью.
В первое двадцатилетне нашего века оформляется школа обоснования математики, названная интуиционизмом. Главным ее представителем был нидерландский математик Л. Э. Брауэр (1881 1966). Он считал, что в теоретико-множественном обосновании математики бесконечные множества рассматриваются как завершенные пли актуальные совокупности, что делает его малоуспешным, Интуиционисты подвергли критике классическую математику по поводу не только неправильного подхода к понятию бесконечности, но п особого понимания существования математических объектов и природы математического знания.
