Философия - Савкин Н.С.
ISBN 5 -7103-0712-2
Скачать (прямая ссылка):
Этот кризис был преодолен созданием теории пропорций и метода исчерпывания древнегреческим математиком и астрономом Ев-доксом Киидскнм (ок. 408 - ок. 355 до и. э.), иозде доработанного Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.). Вместо принципа соизмеримости отрезков Евдокс выдвинул постулат о том, что из двух отрезков меньший всегда можно повторить столько раз, пока сумма повторенных отрезков будет больше другого (большего) отрезка. По-иному говоря, «в континууме не существует гиг актуально бескоиеч
§ 3. Проблема обоснования математики 255
но большого, ни актуально бесконечного малого»1'*. Л основная суть «метола исчерпывания состоит в том, что если от какой-нибудь величины отнять ее половину пли больше, с остатком поступить точно таким же образом, то в конце концов мы получим величину, которая будет меньше любой заданной»
Ясно, что теория пропорций Евдокса, опирающаяся на приведенный постулат, исходящий из абстракции потенциальной осуществимости, содержит в неявном виде понятие потенциальной бесконечности. То же самое можно сказать н о методе исчерпывания античной математики. Он, по сути, есть не что иное, как прообраз теории пределов, где оперируют понятием потенциальной бесконечности.
Второй кризис оснований математики относится к XVII -XVIII вв. п связан с созданием анализа бесконечно малых, дифференциально н интегрального исчислений. Причиной стало, прежде всего, неопределенное, расплывчатое понятие бесконечно малого, его сущности. Между тем в основе этих новых разделов математики лежало именно это понятие. Бесконечная малая величина понималась как наименьшее значение бесконечно убывающей величины в процессе ее изменения, но это значение, однако, должно было быть больше нуля. Фактически это означало, что бесконечно малые как переменные по своей природе начали считать постоянными.
Так как результаты, получаемые с помощью анализа бесконечно малых (вычисление мгновенной скорости в механическом движении, площадей криволинейных фигур и т. д.), демонстрировали огромные возможности дифференциального и интегрального исчислений, отношение к самим основаниям этих исчислений было недостаточно критическим. Например, бесконечными рядами могли оперировать по аналогии с конечными, полагая «само собой разумеющимся, что сумма каждого ряда не зависит от порядка следования его элементов»15, или без исследования их сходимости. Бесконечно малая в процессе вычисления производной функции противоречиво считалась то равной нулю, то отличной от него некоторой величиной.
Покажем это противоречие на примере вычисления производной от фукнцпп у = ах3 по логике оперирования бесконечно малыми, характерной для математиков XVII ?-• XVIII вв.
Ау Ах = [а (х + Ах)3 - ах3] / Ах = {а (х + Ах - х) [(х + Ах)2 + + х (х + Ах) + х2]}/Лх = а (Зх2 + Зх Ах + Ах2).
25() Глава 14. Философские проблемы математики
При всех этих вычислениях под бесконечно малой величиной Ах (приращением аргумента функции) подразумевалась величина, отличная от нуля. Далее это приращение считают равным пулю и находят, что искомая производная равна Зах-. Однако по самому определению бесконечно малая должна быть больше нуля, и поэтому ее приравнивание к нулю незаконно. Но если бы с самого начала наших вычислении мы приняли бы Ах = 0, это отношение приращения функции к приращению аргумента приняло бы неопределенную форму 0 0. Данное противоречие в фундаменте интегрального и дифференциального исчислении впервые было замечено и подвергнуто критике в трактате «Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику...» английского философа Дж. Беркли (1685 1753), который склонен был утверждать, что эти исчисления основываются на фокусах16. Нечеткость в понимании природы бесконечно малых величин привела к различным противоречиям и вызвала второй кризис основании математики.
Выход из создавшегося положения был найден в первую очередь разработкой теории пределов многими математиками, прежде всего французским ученым О. Кожи (1789 1857). В этой теории ие фигурирует актуальное бесконечно малое, оно заменено понятием предельного перехода. Бесконечно малой величиной здесь выступает переменная величина, предел которой равен пулю. В процессе приближения к своему пределу эта переменная образует бесконечное множество своих значений х1 О = 1, 2.....п, ...). Поэтому можно
сказать, что теория пределов опирается иа понятие потенциальной бесконечности, точнее, потенциальной бесконечно малой величины.
Для обоснования чрезвычайно большого количества математических суждений различных теорий надо было'редуцировать вопрос об истинности всех суждении математики к вопрос)' об истинности сул<деимй какой-нибудь одной теории и, еще уже, к истинности аксиом этой теории. В конце XIX в. такая редукция мыслилась как сведение названного вопроса к проблеме истинности аксиом теории множеств немецкого математика Г. Кантора (1845 1918). К этому времени она утвердилась в качестве теоретического фундамента всего здания классической математики. Это означало, что математика получила теоретико-множественное обоснование. На базе его принципов можно было построить любые математические понятия и интерпретировать любые системы аксиом.
