Теория и практика конструирования педагогических тестов - Челышкова М.Б.
ISBN 5-94010-143-7
Скачать (прямая ссылка):
• для 5-, 6- и 8-го d5 6 8 =4-5 = -1 ;
235
GUNPOWDER
• для 7-го d7 =5-5 = 0;
• для 1- и 10-го ^1, ю =6 — 5 = 1 ;
• для 4- и 9-го d4 9 =9-5 = 4.
Если просуммировать все отклонения, взятые со своим знаком, то для симметричных распределений сумма будет равна нулю. В рассматриваемом примере сумма отклонений
ю _
?(*,--^) = -4-3-1+0 + 1 + 4 = -3, 1=1
что, конечно, не позволяет оценить меру неоднородности распределения, поскольку отрицательные и положительные слагаемые уничтожают друг друга. Для преодоления этого эффекта каждое отклонение возводят в квадрат и находят сумму квадратов отклонений: Тогда сумма вида
w _ _ _ _
X(Jf1- - Jf)2 =(ХУ-X)2 +(^2-X)2 + ... + (AV-X)2 = df + d\ +... + 4
i=i
будет большой, если результаты тестирования отличаются существенной неоднородностью, и малой — в случае близких результатов испытуемых по тесту.
Для рассматриваемого примера
]?(*,- - X) = (-4)2 + (-3)2 + (-1)2 + (-1)2 + О2 +12 +12 + 42 + 42 = 62.
/=1
Величина суммы зависит также от размера выборки учеников, выполнявших тест. Зависимость здесь вполне очевидна: чем больше учеников, тем больше положительных слагаемых в сумме, характеризующей вариацию баллов по тесту. Поэтому при сравнении мер изменчивости распределений, отличающихся по объему, возникает препятствие, которое снимается путем деления каждой суммы на N- 1, где N — число учеников, выполнявших тест. Определяемая таким образом мера изменчивости называется дисперсией. Она
обычно обозначается символом S2 и вычисляется по формуле 1(X1-X)2
Sl=-^-. (5.2)
236
GUNPOWDER
Для рассматриваемого примера
2=_й_ = 62 х 10-1 9
В примере Sx вычислялась просто в силу того, что среднее арифметическое было целым числом. На практике, как правило, приходится иметь дело с дробными значениями X ,что делает использование формулы (5.2) крайне утомительным. Поэтому нередко для подсчета дисперсии применяются другие формулы, приведенные в приложении 5.3.
Стандартное отклонение. Кроме дисперсии, для характеристики меры изменчивости распределения удобно использовать еще один показатель вариации, который называется стандартным отклонением. Стандартное отклонение равно корню квадратному из дисперсии:
Sx=J^x- (5.3)
Для рассматриваемого примера
Свойства дисперсии и стандартного отклонения рассматриваются подробно в учебниках по статистике. Заинтересованному читателю можно порекомендовать, например, книгу Дж. Гласе, Дж. Стенли «Статистические методы в педагогике и психологии»
[9|.
Стандартное отклонение не следует путать со средним отклонением, последнее находится по формуле
N ,
MD = —
N
(5.4)
и является средним значением суммы отклонений, взятых по модулю.
Интерпретация. Дисперсия играет важную роль в оценке качества нормативно-ориентированных тестов. Слабая вариация ре-
237
GUNPOWDER
зультатов испытуемых указывает на низкое качество теста. Основания для подобного вывода вполне прозрачны. Низкая дисперсия индивидуальных баллов говорит о слабой дифференциации испытуемых по уровню подготовки в тестируемой группе, т.е. о той ситуации, которая диаметрально противоположна основной цели создания нормативно-ориентированного теста.
Излишне высокая дисперсия, характерная для случая, когда все учащиеся отличаются по числу выполненных заданий, также грозит неприятными последствиями и требует переработки теста. Превышение разумных пределов величины дисперсии приводит к искажению вида распределения, которое начинает существенно отличаться от планируемой теоретической нормальной кривой.
При переработке теста следует руководствоваться простым правилом: если проверка согласованности эмпирического распределения с нормальным дает положительные результаты, а дисперсия растет, то это означает, что происходит повышение дифференцирующей способности теста и процесс улучшения теста.
Конечно, использовать какой-либо из существующих критериев для проверки нормальности распределения в практике довольно неудобно. Поэтому зачастую непрофессионалы в оценке характера распределения руководствуются простым соотношением. Для
этого величину X сравнивают с утроенным стандартным отклонением. Если это равенство выполняется, т.е. если
X ~ 3Sx,
то дисперсия оптимально высока и можно принять гипотезу о нормальности распределения.
Стандартное отклонение является крайне полезной мерой вариации для случая нормального распределения баллов испытуемых, так как заранее приблизительно известно, какой процент данных лежит внутри одного, двух и трех стандартных отклонений, откладываемых от центра распределения. Наиболее удобна нормированная нормальная кривая, площадь под которой равна 1 (рис. 5.11).
Для нее среднее значение г =0, а стандартное отклонение oz = 1.
Для совмещения любой нормальной кривой с единичной достаточно выполнить простое преобразование исходного распределения путем вычитания среднего значения X из каждого индивидуального балла X1 и деления полученной разности на Sx (подробнее см. гл. 7):
238
f
f
2,14%
-35,
13,59%
99,72% 95,44%
68,26%
1
13,59%
2,14%
-25,
О
+15,
