Занимательная механика - Перельман Я.И.
Скачать (прямая ссылка):
Но у —скорость подскакивающего шара — равна \^2gh, где h — высота, на которую он подскакивает. Vi = yr2gH, где H_высота,
с которой мяч упал. Значит,
У 2gH У я
Итак, мы нашли способ определять «коэфициент восстановления» (в) мяча, характеризующий степень отступления его свойств от вполне упругих: надо измерить высоту, с которой его роняют, и* высоту, на которую он
ч
подскакивает: квадратный корень из отношения этих величин и будет искомый коэфициент.
llfo спортивным правилам, хороший теннисный мяч должен при падении с высоты 250 см подскакивать на высоту 127 — 152 см. Значит, коэфициент восстановления для теннисного мяча должен заключаться в пре-
300 мвтроВ
9 16Sn
Il
делах
от
V 250
до
152 250
т. е. от 0,71 до 0,78.
Остановимся на средней величине 0,75, т е., выражаясь вольно, возьмем мяч «упругий на 75%» и проделаем некоторые интересные для спортсменов расчеты.*
Первая задача: насколько подскочит мяч во второй, в третий и последующие разы, если его уронить с зысоты //?
В первый раз мяч подскочит, мы знаем, на высоту, определяемую из формулы
Для е = 0,75 имеем:
и
Я = 250 см
Рис. 46. Как высоко подпрыгнул бы мяч, уроненный' с Эйфелевой башни.
/ 256 -0-75'
откуда h = 140 см.
ПО
¦
Во второй раз, т. е. после падения с высоты h = = 140 сд«, мяч подскочит на высоту hi, причем
°."= Vb-
откуда hi = 78 см.
Высоту h2 третьего подъема мяча найдем из уравнения
откуда h2 = 44 см.
Дальнейшие расчеты ведутся таким же путем.
Уроненный с высоты Эйфелевой башни (H = 300 мУ такой мяч подскочил бы в первый раз на 168 м, во второй — на 94 м и т. д., если не принимать в расчет сопротивления воздуха, которое в этом случае должно быть велико (из-за значительной скорости).
Вторая задача: сколько всего времени мяч, уроненный с высоты Н, будет подскакивать?
Мы знаем, что
. »,«,*_¦ Я1.д.
и следовательно,
Продолжительность подскакивания равна Г+2< + 2<! + 2/2+ и т. д.,
Ш
После некоторых преобразований, которые читатель-математик легко проделает самостоятельно, получаем для искомой суммы выражение:
Подставляя: H = 250 см, ? = 980 см/сек3. е = 0,75,
имеем общую продолжительность подскакивания равной 5 сек.: мяч будет подскакивать в течение 5 сек.
Если бы его уронить с высоты Эйфелевой башни, подскакивание длилось бы (при отсутствии сопротивления атмосферы) около минуты, точнее — 54 сек., если только мяч уцелеет при ударе.
При падении мяча с высоты нескольких метров скорости не велики, а потому влияние сопротивления воздуха незначительно. Был сделан такой опыт: мяч, коэффициент восстановления которого 0,76, уронили с высоты 250 ел». При отсутствии атмосферы он должен был бы подскочить во второй раз на 84 caj; в действительности же он подскочил на 83 CAf; как видим, сопротивление воздуха почти не сказа \ось.
Крокетный шар налетает на неподвижный, нанося ему удар, который в механике называется «прямым» и «центральным». Что произойдет с обоими шарами после удара?
Оба крокетных шара имеют равную массу. Если бы они были вполне неупруги, то скорости их после удара были бы одинаковы; они равнялись бы половине скорости ударяющего шара. Это вытекает из формулы;
НА КРОКЕТНОЙ ПЛОЩАДКЕ
х
Wl1V1 -f- Wl2V2
В КОТОРОЙ TTl1 = In-J И V-, = 0,
Напротив, если бы шары оыли вполне упруги, го простое вычисление (выполнение которого предоставляем читателю) показало бы, что они обменялись бы скоростями: налетевший шар остановился бы после удара на месте, а шар, прежде неподвижный, двигался бы в направлении удара со скоростью ударившего шара. Так и происходит при ударе биллиардных шаров (из слоновой кости).
Но крокетные шары не принадлежат ни к тому, ни к другому роду тел: они не вполне упруги. Поэтому результат удара не похож на сейчас указанные. Оба шара продолжают после удара двигаться, но не с одинаковой скоростью: ударивший шар отстает от крокированного. Обратимся за подробностями к формулам удара тел.
Пусть «коэфициент восстановления» (как его определить, читателю известно из предыдущего) равен е. В предыдущей статье мы нашли для скоростей у и г обоих шаров после удара следующие выражения:
У — (1 + е) .с — Ci1; х~{\+с)х — ег-2.
Здесь, как и в прежних формулах,
¦HIiCt -4- rtL,v» jc = -J-^-t--•
ml T "'2
В случае крокетных шаров Wj ~ TtIo и v% — 0. Подставив, имеем:
Кроме того, легко убедиться, что
Теперь' мы можем в точности предсказать судьбу ударяющихся крокетных шаров: скорость ударившего шара распределяется между обоими шарами так, что крокированный шар движется быстрее ударившего на долю е первоначальной скорости ударившего шара.
Возьмем пример. Пусть е = 0,75. В таком случае уда-
S Зак. 4008. — Занимательная мехашка. J^^yS>^ ^* ^**ЯС
ренный шар получит % первоначальной скорости крокировавшего шара, а этот последний будет двигаться за ним, сохранив только первоначальной скорости.
„ОТ СКОРОСТИ СИЛА"
Под таким заглавием в «Первой книге для чтения» Л. Н. Толстого был помещен следующий рассказ: