Занимательная механика - Перельман Я.И.
Скачать (прямая ссылка):
Опыт обнаруживает ошибочность этих заключений; все дробинки достигают окружности одновременно!
Причина в том, что дробинки движутся с различной скоростью: быстрее всех движется свободно падающая, а из двух скользящих по жолобам быстрее та, путь которой наклонен круче. По более длинным путям дробинки, как видим, движутся быстрее, и можно доказать, что выигрыш от большой скорости как раз покрывает потерю от длинного пути.
В самом деле, продолжительность t падения по отвесной линии AD (если отвлечься от сопротивления воздуха) определяется по формуле: .
Продолжительность I1 движения по хорде — например, по AC — равна:
О D
Рис. 34. Задача о трех Рис. 35. Задача Галилея,
дробинках.
где а — ускорение движения по наклонной линии АС. Но легко установить, что
a AE AE-g
g=AC " а = -АС~
Рис. 34 показывает, что
AK_ AC AC ~ AD
и следовательно
AC AD
Значит,
« = ~ • g-
^/~2-АС ^/~2-АС-АП 2AD j
Н==У — = У ACff =*У -Т~ = г
Итак, t = t , т. е. продолжительность движения по хорде и по диаметру одинакова. Это относится, конечно, не только к АС, но и ко всякой вообще хорде, проведенной из точки А.
Ту же задачу можно поставить и в иной форме. Три тела движутся силой тяжести по линиям AD, BD и ( D, лежащим в отвесном круге (рис. 35). Движение началось одновременно в точках Л, В и С. Какое тело раньше достигнет точки
Читатель не затруднится теперь доказать самостоятельно, что тела должны достичь точки V одновременно.
Рассмотренная задача была поставлена и разрешена Галилеем в книге «Беседы о двух новых отраслях науки» (есть русский перевод), где впервые изложены открытые им законы падения тел.
Там находим доказательство теоремы, формулированной Галилеем так: «Если из высшей точки круга, построенного над горизонтом, проведены различные наклонные плоскости, доведенные до окружности, то времена падения По ним одинаковы».
ЗАДАЧА О ЧЕТЫРЕХ КАИНЯХ
С вершины башни брошены с одинаковой скоростью четыре камня: один — отвесно вверх, второй — отвесно вниз, третий —- горизонтально вправо, четвертый — горизонтально влево.
Какую форму имеет тот четырехугольник, в вершинах которого будут находиться камни во время падения? Сопротивления воздуха в расчет не принимать.
Решение
Большинство приступает к решению этой задачи с мыслью, что падающие камни должны расположиться в вершинах четырехугольника, форма которого напоминает фи-
гуру бумажного змея. Рассуждают так: камень, брошенный вверх, удаляется от исходной точки медленнее, чем брошенный вниз; брошенные же в стороны летят по кривым линиям с некоторой промежуточной скоростью. Забывают при этом подумать о том, с какой скоростью опускается центральная точка искомой фигуры.
Легче получить правильное решение, рассуждая иначе. Именно, сделаем сначала допущение, что тяжести нет вовсе. В таком случае, конечно, четыре брошенных камня располагались бы в каждый момент на вершинах квадрата. Но что изменится, если мы введем в действие тяжесть? В не-сопротивляющейся среде все тела падают с одинаковой скоростью. Поэтому наши четыре камня под действием силы тяжести опустятся на одно и то же расстояние, т. е. квадрат перенесется параллельно самому себе и сохранит фигуру квадрата.
Итак, брошенные камни расположатся в вершинах квадрата.
К сейчас рассмотренной задаче примыкает
ЗАДАЧА О ДВУХ КАМНЯХ
С вершины башни брошены два камня со скоростью трех метров в секунду: один — отвесно вверх, другой — отвесно вниз. С какой скоростью они удаляются один от другого? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение
Рассуждая, как в предыдущем случае, мы легко придем к правильному выводу: камни удаляются один от другого со скоростью 3 + 3, т. е. 6 метров в секунду. Скорость падения здесь, как ни странно, никакого значения не имеет: ответ одинаков для любого небесного тела — для Земли, Луны, Юпитера и т, п,
ИГРА В МЯЧ
Задача
Игрок бросает мяч своему партнеру, находясь в 28 м9 от него. Мяч летит четыре секунды. Какой наибольшей высоты достиг мяч?
P е ш е ние
Мяч двигался 4 секунды, совершая одновременно перемещение в горизонтальном и в отвесном направлениях. Значит, на подъем и обратное падение он употребил 4 секунды, — из них 2 секунды на подъем и 2 на падение (в учебниках механики доказывается, что продолжительность подъема равна продолжительности падения). Следовательно, мяч опустился на расстояние:
9
Итак, наибольшая высота подъема мяча была около 20 м. Расстояние между игроками (28 м) — данное, которым нам не пришлось воспользоваться.
При столь умеренных скоростях можно пренебрегать сопротивлением воздуха.
Глава пятая
КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
ПРОСТОЙ СПОСОБ ПРИБАВИТЬСЯ В ВЕСЕ
Мы часто желаем своим больным знакомым «прибавиться в весе». Если бы речь шла только об этом, то добиться увеличения веса можно очень скоро без усиленного питания и заботы о своем здоровьи: достаточно только сесть в карусель. Катающиеся на карусели обычно и не подозревают, что, сидя в возке, они буквально прибавляются в весе. Несложный расчет покажет нам величину прибавки.