Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
T^ = П Ge.
S^ 1
Из неравенств \BS\ < 8" следует, что на торе T^0 выполняется
ID-1BADs - A411 = |BSAS - Ag| ->¦ О при s эо.
Наконец, из IWя + 1 — ш„| < S8 следует сходимость на T^c отображений As:
Iim As = Aoc : q q + w*.
S—^oo
Следовательно, на T^0 выполняется
D1 (BA)D = Aco. Приложение 35 Конструкция Смейла У-диффеоморфизмов
(См. §12.3 гл. 3)
Смейл [3] доказал, что не существует неторических У-диффеомор-физмов. Приведем один пример, иллюстрирующий его конструкцию. Пространство M.
Пусть G нильпотентная группа Ли матриц размерности 6x6:
/1 x У \
1 z 0
1
g = 1 X Y
0 1 Z
\ 1/
где х, у, z, X, У, Z Є Ж. Группа G диффеоморфна E6.
Обозначим через Q(\/3) = {р + q\/3 | р, q Є Z} поле чисел, приближающее л/3 рациональными числами, и через х = р + + q\/3 -^x = P = qV3 нетривиальный автоморфизм Галуа. Рассмотрим подгруппу Г группы G, элементы которой удовлетворяют соотношениям
X1 у, z Є Q(Vs),
X = х, Y = у, Z = ~z.
Нетрудно доказать, что группа Г дискретна и правый смежный класс M = {gT} = GjT компактен.
Очевидно, что первая гомотопическая группа M изоморфна Г и, следовательно, является нсабслсвой нильпотсптпой группой. Следовательно, пространство M неторическое. Диффеоморфизм <р: M —у М.
Отождествим элементы g Є G с (х, у, z, Z, Y, Z). Определим отображение ф: G G
<р(х, у, z, X, Y, Z) = (\х, р,у, VZ, XX, JlY, VZ), Конструкция Смейла У-диффеоморфизмов
265
где
Л = 2 + УЗ, V = (2 - Уз)2, Ii = Xv = 2 - УЗ.
<р является автоморфизмом G, поскольку ц = Xv. Следовательно, ?>Г = Г и ip определяет диффеоморфизм ip пространства М:
<р: gV ^ <p(g)T.
(M7 ip) является У-диффеоморфизмом.
Элемент алгебры Ли TGe группы G имеет вид
/О ab \
Oc 0 0
0 AB' 0 0 С
V о/
Метрика
(Ls2 = da2 + dl? + de2 + d,A2 + dB2 + dC2
на TGe определяет правоинвариантную метрику на G и, следовательно, риманову метрику на M = G/Г. Алгебра Ли TGe разбивается в сумму X + Y, где элементы X (соответственно, Y) имеют вид
/0 а, 0 \ /0 0 ъ \
0 0 0 0 с 0
0 0 0 в (соответственно) 0 0 А 0
0 0 с 0 0 0
V V V V
При правых трансляциях происходит расщепление касательного пространства TGg в каждой точке g Є G:
TGe = Xg + Ye.
Следовательно, касательное пространство TMm в точке то Є M также расщепляется:
TMm = X т Ym.
Нетрудно заметить, что линейное касательное отображение dip является растягивающим на Xm и сжимающим па Ym. Список литературы
Л. М. Абрамов
[1] Относительно замечаний Гениса, РЖ мат., 1963, 8, с. 439.
[2] Метрические автоморфизмы с квазидискретным спектром, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1962, 26, №4, с. 513-531.
R. L. Adler, Т. V. Rivlin
[1] Ergodic and Mixing Properties of Chebyschev Polynimials, Proc. Amer. Soc., 1964, 15, №5, pp. 794-796.
A. А. Андронов, Л. С. Понтрягин
[1] Грубые системы, Докл. АН СССР, 1937, 14, с. 247-250.
Д. В. Аносов
[1] Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны, Докл. АН СССР, 1962, 145, с. 707-709.
[2] Эргодические свойства геодезических потоков на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, Докл. АН СССР, 1963, 151, с. 1250 1253.
[3] Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими решениями, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1960, 24, с. 721-742.
Н. Anzai
[1] Ergodic Skew Product Tranfiforrnations on the Torus, Osaka Math. J., 1951, pp. 83 99.
B. И. Арнольд
[1] Sur la geometric des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications en hydrodynamique des fluides parfaits, Arm. Inst. Fourier (Grenoble), 1966, 16, №1, pp. 319 361. Список литературы
267
[2] Замечания о числах вращения, Сиб. мат. журнал, 1961, 2, №6, с. 807-813.
[3] Несколько замечаний о потоках линейных элементов и реперов, Докл. АН СССР, 1961, 138, №2, с. 255-257.
[4] Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике, Успехи мат. наук, 1963, 18, №6, с. 91 196.
[5] Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона, Успехи мат. паук, 1963, 18, №5, с. 13-40.
В. И. Арнольд, Я. Г. Синай
[6] О малых возмущениях автоморфизмов тора, Докл. АН СССР, 1962, 144, №4, с. 695-698.
В. И. Арнольд
[7] Об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае, Докл. АН СССР, 1961, 137, №2, с. 255-257.
[8] О рождении условно периодического движения из семейства периодических движений, Докл. АН СССР, 1961, 138, № 1, с. 13-15.
[9] О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона, Докл. АН СССР, 1962, 142, №3, с. 758-761.
[10] О классической теории возмущений и проблеме устойчивости планетных систем, Докл. АН СССР, 1962, 145, №3, с. 487-490.
[11] Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя, Изв. АН СССР. Сер. мат., 1961, 25, №1, с. 21-86.
