Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
кф О
Пусть N — положительное целое число. Положим C(Pq)= Y Ck(P)ei{k^\
ск(р} = b^
(П34.25)
e~i(k,U11(P)) _ 1
вПостоянная <5q в зависит в конечном счете от 0.256
Глава 34
Обозначим через С глобальное каноническое отображение, определяемое производящей функцией Pq + C(P, q), и рассмотрим глобальное каноническое отображение Bi = CBAC-1A-1. Ясно, что
B1A = C(BA)C-1 (см. рис. П34.26). Заметим, что А ВС > Bi.
А В
С
A B1
Рис. П34.26
Главная лемма П34.27
Лемма 1. Предположим, что в области \р — р*\ < 7, Im у| < р функции Wi (р), В(р, q) аналитические и удовлетворяют неравенствам
O-1Idp] < Idw1(P)I < 0\dp\, \B(p,q)\<M, \B(p)l < М.
Предположим также, что из* = uji (р* ) принадлежит множеству H(K) из леммы (П34.10). Тогда
1) функция С(Р, q) аналітична при \P — р* | < 7, | Im g| < р — S и удовлетворяет в этой области неравенству
I C(P,q)\<MS~^-,
2) производящая функция Pq + Bi(P, q) аналитического отображения Bi удовлетворяет в области \Р — р*\ <7 — S, | Imq\ < р — ? неравенству
IBi {Р, q) < M2Tvi + M + Me~?N ?~Vl (П34.28)
при условии, что (в случае 1 и 2)
Ш < M < S"2; SkCi1, 7 < С2/З, ? < Сз, 7 < C4N~{n+2),Доказательство теоремы о сохранении инвариантных торов
257
где vi, V2 > 1 > С\, C2, Cz, С4 > О абсолютные постоянные9. Доказательство.
Из неравенств \duj\ < 6\dp\ и 7 < CiN-^11+2K где Ci < , сле-
Г7
дует, что все Wi (р) из области \р — р*\ < 7 удовлетворяют неравенству \(jj — lu*\ < KN~(n+2\ Следовательно, в силу заключительного примечания из раздела В утверждение леммы П34.7 имеет место для тригонометрической суммы С. Пусть (? = 5о(п,К) — постоянная, упомянутая в лемме П34.7. Тогда, если С3 < S0, то S < (?; таким образом, лемма П34.7 утверждает, что \С\ < MS~Vl при | Im<7 < р — S. Более точно, это составляет п. 1 нашей леммы.
Заметим далее, что | Imo;(p)| < O7 < ?, если постоянная C2 (в неравенстве 7 < C2?) достаточно мала. При этих условиях отображения А и А-1 являются диффеоморфизмами:
{р, q\ Iр - р* < 7', I Imyl < р'} {р, q\ \р - р* \ < у", | biig| < р"}
при р" < р' + в7 < р. Это позволяет применить лемму П34.20 к AC-1A-1. Кроме того, если Vi и V2 (в неравенстве M < Sv^) достаточно велики, а постоянная Cz (в неравенстве S < ? < С3) достаточно мала, то соотношения р из лемм П34.16, 18, 19, 20 принимают
вид неравенства < Mo^"1.
Из лемм П34.16, 18, 19, 20 следует, что в условиях главной леммы с подходящим образом выбранными постоянными С, v отображение Bi = CBAC-1A-1 задается производящей функцией Pq+Bi(p, q), где Bi(p, q) —аналитическая функция при \Р—р*\ < 7 — <5, | ImqrI < р—? и что в этой области
\Bi(x) - (В(х) + С(х) - С(А-1ж))| < M2S-vK (П34.30) Но по формуле (П34.25) справедливо соотношение
В(х) + С(х) - C(A-1x) = B + RnB, (П34.31) а по утверждению С леммы П34.11 при
I Imgl < р- ? < р- S
9T. е.постоянные, зависящие только от размерности п и постоянных К, О. Лемма утверждает, что существуют (достаточно большие) постоянные v 1, v2 и (достаточно малые) постоянные Сі, С2, Сз, Ci такие, что утверждения 1 и 2 леммы реализуются.258
Глава SJf
справедливо неравенство
\RnB\ < Me-?N?-Vl.
(П34.32)
Так как |В| < М, из формул (П34.30, 31, 32) следует (П34.28).
G. Индуктивная лемма
Построение инвариантных торов опирается па итерационную процедуру, каждый шаг который основан на следующей конструкции.
Индуктивное построение П34.33
Пусть А и В два канонических преобразования
Преобразование В задается производящей функцией Pq + В(р, q), N — положительное целое число. Выполнив вариацию частоты (раздел Е), получаем:
и отображение В', задаваемое производящей функцией Pq + В'(р, q) такое, что BA = В'Ai.
Применим теперь основное построение раздела F к отображениям Ai, В'. Мы получим канонические отображения С и Bi = = CB7AiC-1A^1; таким образом (см. рис. П34.34),
А: р, q p. q + ш(р).
Ai Р, Ч P-, Ч + vi ip)-
BiAi = C(BA)C
-і
А
В
С
С
Л, B1
Рис. П34.34Доказательство теоремы о сохранении инвариантных торов
259
Индуктивная лемма П34.35
Предположим, что в области \р — р* < 7. | Im q\ < р справедливы неравенства
Q-1Idpl < \dw\ < 6\dp\, в<в0, IВ{р, q)I < М, ш(р*) =uj* Є Sl(K).
Определим pi из соотношения wi(pj) = из*. Пусть Pq + Bi(p, q), Pq + + С(р, q) — производящие функции отображений Bi и С. Тогда-.
1) в области |Р — р*\ < j, | Imgl < р — S функция С(р, q) аналитическая и \С\ < М5~иг;
2) область \Р — рЦ < 71. | Im < р\ = р — ? составляет часть области \Р — р*\ < 7, | Img < р. В самой малой из таких областей функция В і является аналитической и |?i| < M2S-"1 + Me~?N?~Ul;
3) B11\dp\ < \du)i\ < #і|ф|, \ві — в\ < S, \ujx — u)\ < S при условии, что M < S'Jl; S < Cij, 7 < C2?, ? < C3-, 7 < CiN^n+2), 71 < C5J, где постоянные v\, U2- > 1 > C±, C2, C3, C4, C5 >0 — абсолютные постоянные, то есть зависят лишь от размерности п, постоянных 6ц и К, но не зависят от В, ш, в, M и т. д.
Доказательство.
Доказательство индуктивной леммы непосредственно следует из двух предыдущих лемм. Двумя новыми моментами являются следующие.