Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Лемма П34.15. Пусть G — некоторая комплексная область и f(z) — функция, аналитическая в G, которая удовлетворяет неравенст-вУ \.f(z)\ < М. Тогда при z Є G — S производная k-го порядка анали-тична и
dk f
dzk
<М.
Доказательство.
Из формулы Коши
dkf
dz
.Л
AL
2жг
_F(0 dt (С
z)k+1'
7: - z\ = o,
БЭтот метод изложен еще в книге Боголюбова и Митропольского [1]. Частоты и>{р) в малых знаменателях можно было бы заменить на постоянные и> E ftjr-
6T. е. они зависят от размерности областей, упоминаемых в утверждении а, числа производных и т.д., но не зависят ни от функций, ни от областей. 252
Глава 34
следует, что
и мы получаем (П34.14) с
dkf
dz
< kl MS
-к
V2 = к + 1, <S0 = V1= 0.
Здесь
F{S, М) = sup
f.G.xEG — o
dkf
dzk
где sup берется по всем ограниченным областям G, всем аналитическим функциям f в G (1/1 < М) и всем z Є G — S.
Заметим, что в наших обозначениях СМ8~v M и что из неравенств F M и G M следуют неравенства F + G М, FG M2.
Таким образом, если F(5, М) М, то F(CS, М) ^ M (здесь С и и —
абсолютные положительные постоянные).
Уточним теперь соотношения между глобальными каноническими отображениями S, близкими к тождественному отображению, и их производящими функциями Pq + S(P, q). Пусть
U = Bnx Tn, Bn = {р: \р\ < 7, р Є Г1}, Tn = {q (mod 2тг), q = (qu... , qn)},
и [fi] — комплексная область в fi, задаваемая неравенствами |р| < 7, I Imqr j < р, где 0 < 7 < 1, 0<р< 1.
Лемма П34.16. Пусть S(P, q) — функция, аналитическая в [fi], удовлетворяющая неравенству |S(P, q) < М. Тогда формулы
р = Г+%- V = s = s{r'q)
(П34.17)
определяют глобальный канонический диффеоморфизм S:
P = P(p,q), Q = QiP, q); S:[fi]-2S ^ [Щ - S Доказательство теоремы о сохранении инвариантных торов 253
и в [Г2] — 2S справедливы неравенства
dS(p, q)
(Р-р)
dp dS(p, q)
<M2,
Лемма П34.18. Пусть P = P(p, q), Q = Q(p, q) — глобальное каноническое отображение, аналитическое в [П], где оно удовлетворяет неравенствам \Р — р\ < М, \Q — q\ < М. Тогда eil —6 это отображение определяется формулами (П34.17), где S — аналитическая функция, удовлетворяющая неравенствам
ISIfiAf, \S(p, q)- j{",q)(Q-q)dp-(P-p)dq\f]M\
Лемма П34.19. Если S(p, q) и Т(р, q) две функции, аналитические в [Г2], где они удовлетворяют неравенствам |S| < М, |Т| < M, то произведение соответствующих канонических отображений R = ST есть глобальный канонический диффеоморфизм области [fi] — 3 Se область [Г2] — 2S, определяемый производящей функцией R, аналитической
в [Ji] — S, где она удовлетворяет неравенству R- (S + Т)| fi M2.
Пусть теперь А: [Л] —» [Л'] — аналитический глобально канонический диффеоморфизм (область [Л'] задается неравенствами \р\ < у', I Img < р', 0 < 7', р' < 1 ). Пусть Or1Iy — х\ < |А(у) — А(х)\ < а\у — ж|, S — функция, аналитическая в [П], S — диффеоморфизм, который соответствует ей по лемме (П34.16).
Лемма П34.20. Формула T = ASA-1 задает глобальный канонический диффеоморфизм области [ГУ] — 35 в область [fi'] — 2S, задаваемый производящей функцией T, аналитической в [Г2'] — S, где она удовлетворяет неравенству7
\Т(Ах)-S(X)I < M2.
Доказательства предшествующих лемм воспроизводят доказательства из приложения 32, используя лемму (П34.15) для вычисления членов порядка 0(є2). Подробности см. в работах Арнольда [4], [5].
7B этой лемме постоянная <5о, которая входит в определение неравенства ^j, зависит также от а. 254
Глава 34
Е. Вариация частоты
Приступим теперь к построению инвариантных торов отображения BA (см. теорему 21.11, гл. 4).
Чтобы понять выкладки, приводимые в разделах E-H, полезно иметь в виду, что положительные числа ?, 7, 8, M и р, К, в связаны неравенствами
и что Vi, сі — абсолютные постоянные, v > 1 > с.
Построение вариации частоты П34.21
Пусть А и В — два глобальных канонических отображения
А: р, q р, q + u(q), и В с производящей функцией Pq + В(Р, q). Положим
Рис. П34.22
и рассмотрим канонические отображения (см. рис. П34.22): Ai: р, q -> р, q + Wi (р), В'= BAA^1.
Ясно, что
Лемма о вариации частот П34.23. Предположим, что в области \р — р*\ <7, I Img| < р выполняются неравенства o_1|dp| < \dw\ < < ?\dp\ U IВ(р, q) I < M.
О < M C R< 7 « C ft К, в'1 < 1,
"i(p)= w(p)+??
BA = B'Ai. Доказательство теоремы о сохранении инвариантных торов 255
Тогда для глобального канонического отображения В' с производящей функцией Pq+B'(P, q) такой, что при \р—р*\ < y—S, | Img| < p—S справедливы неравенства8
ыр)-ш(р)\<м, \В'\<м, \В'\<м2,
где
В' = (2ж)~п j ... J B'(p,q)dqi... dqn.
Доказательство.
Достаточно применить лемму (П34.19) к отображениям В и AAj"1:
р, q —» p,q — чтобы получить неравенство |В' — (В — В)| р M2. Я
F. Главная лемма
Воспользуемся теперь оценками для малых знаменателей (раздел В), чтобы получить неравенства типа р M2 после подходящей замены переменных С.
Главная конструкция П34.24
Пусть А и В — глобальные канонические отображения: А: р, q^f р, q +LO1(P), отображение В определяется производящей функцией Pq + B(P, q), где В(Р, q) = B(P) + Y Bk(P)e^k-q\
