Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
mcs(U Tk,Klkl-„) П Sl^Y, CK\k\~v ^ C'K, k k
так как
У^ Ik\~v < оо для V = n + 2. k
Следовательно,
Пусть теперь f(q) = — аналитическая функция.
к
4Метод оценки малых знаменателей для аналогичных задач основательно разработан К. Л.Зигслсм [2], [3].Доказательство теоремы о сохранении инвариантных торов
249
Лемма П34.11.
A) Если при I Img| < р имеем \f(q)\ < М, то |Д| < Me-pliL
B) Если \fk(q)\ < то при | Im q\ < р — S, О < <5 < (? выполняется |Л < Мб'".
C) Если при I Imq\ < р имеем \.f(q)\ < М. то при | Img| < р — S, О < S < (? выполняется |RnI\ < Me~SN ¦ S~". Здесь S0 и v — абсолютные (зависящие только от п) константы, а Rn остаток ряда Фурье
RNf= Y f»rilk,9)-
\k\>N
Чтобы доказать п. А, достаточно сместить на ±ip контур интегрирования в формуле
fk = J fe-^dq.
Доказательства пунктов В и С следуют из суммирования геометрических прогрессий.
Лемма П34.7 следует непосредственно из лемм (П34.10) и (П34.11): необходимо выбрать Є Q,0(K), воспользоваться соотношения-
ми (П34.6), (П34.9), пунктами А и В из леммы П34.11 и элементарным неравенством
e-\k\*. щ-v < c(v)S-".
Затем достаточно выбрать (? < ^ ^, что бы получить лемму П34.7.
Более подробно доказательство изложено в работе [1] В.И.Арнольда. Замечание П34.12. Предположим, что иза Є ЩК) и что Д — 0 при |fc| > N. Тогда ряд (П34.6) становится конечной суммой зависящей от из. Кроме того, утверждение леммы П34.7 с тем же <5о = a(K,n) остается в силе при всех из' таких, что \ш — из'\ < KN~". Если из Є il(K), то, по определению (П34.8), все из', Iиз — ш'\ < KN~", удовлетворяют неравенству (П34.9) при |fc| ^ N; но доказательство леммы П34.7 использует неравенство (П34.9) лишь при \k\ ^ N, если Д = 0 при |fc| > N.
С. Набросок доказательства
Напомним обозначения теоремы (21.11) (§21, гл. 4). Пусть fi = = Bn X Tn есть область канонического пространства, точку х из П обозначим через х = (р, q), где р = (pi, ... , рп) — точка евклидова250
Глава 34
шара Bn, q = (qi, .... qn) (mod 27г) — точка па торс Т™. Отображение А: р, q —р, q + со(р) — «невозмущенное». Отображение В с производящей функцией (см. приложение 32) Pq + В(Р, q) представляет собой глобально каноническое, аналитическое, слабо возмущенное отображение. Требуется найти инвариантные торы отображения BA.
Следующая идея заимствована из теории возмущений (приложение 30) и заключается в том, чтобы попытаться «уничтожить» возмущение В путем замены переменных (с помощью подходящего канонического отображения С) с производящей функцией Pq + С(р, q). Отображение BA в координатах Cx записывается в виде
C(BA)C"1 = В'А,
где В' = CBAC-1A-1. Таким образом, из следствия (П33.20) приложения 32 мы заключаем, что производящая функция отображения В' имеет вид
Pq + B'(p,q) где В'(х) = С(х) + В(х) - C(A^1x) + 0(В2 + С2) что позволяет «уничтожить» отображение В при условии С С(х) + В(х) - C(A-1X) = 0.
Заметим теперь, что это уравнение при любом фиксированном р по форме в точности совпадает с уравнением (П34.5) (сш = w(p), f = В, g=C). Достаточно получить теперь в области Л' С (по «слишком малой») неравенства
IBV < \B\l6-\ ICV < IВ\п6-", (П34.13)
чтобы построить последовательные приближения инвариантных торов во все более малых областях. Сходимость при этом доказывается как в лемме П34.3. Неравенства (П34.13) доказываются с использованием леммы П34.7; они имеют место «далеко от резонансов», т.е. при w(p) Є fi(A").
Чтобы реализовать намеченную в п. E-H в общих чертах программу, нам придется прибегнуть к еще нескольким небольшим «трюкам». Прежде всего, оказывается, что при «уничтожении» отображения В удобно ограничиться уничтожением конечного числа членов ряда Фурье: остаток ряда RnB может рассматриваться как часть «членов высшего порядка» 0(В2), 0(С2). Таким образом, в каждом приближенииДоказательство теоремы о сохранении инвариантных торов 251
мы имеем в (П34.6) лишь конечное число резонансов и малых знаменателей5. С другой стороны, чтобы воспользоваться леммой П34.7, необходимо прежде всего исключить постоянный член Во (среднее значение от В по д), а затем добавить «псвозмущсппос» отображение А (вариацию частот см. ниже раздел Е).
Наконец, заметим, что как показал Мозер [4], метод Колмогорова, модифицированный подходящим выбором числа членов, оставляемых в каждом приближении, остается сходящимся и при неаналитических отображениях. Действительно, Мозер [1] доказал теорему 21.11 для случая п= 1 (отображения плоскости) в предположении, что отображение В дифференцируемо 333 раза. Недавно Мозер [6] дал доказательство, которое требует ограниченное число производных.
D. Канонические отображения, близкие к тождественному
В этом разделе мы воспользуемся следующими обозначениями. Пусть F(5, М) любая функция, а некоторое утверждение,
в которое входят S. M и F. Будем говорить, что «а истинно и ^ М»,
если существуют абсолютные константы6 1/1,1? > 0 и Л'о > 0 такие, что
а истинно, и |F| ^ MS~"2 (П34.14)
лишь при условии, что 0 < д < 6о, M < S"1.