Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Приложение 33
Замечание П33.23. Доказанная теорема не является следствием леммы П33.8: для многообразия Q — q = Q может не выполняться соотношение dp Adq = 0, как можно видеть на примере канонического отображения
Pi = 3pi + 4р2 + qi + q2, Pi = pi + Эрг + ?2, Qi=pi+p2+qi, Q2=pi—qi+q2- Приложение 34 Доказательство теоремы о сохранении инвариантных торов при слабом возмущении канонического отображения
(Теорема 21.11 из § 21, гл. 4.)
Построение инвариантных торов осуществлено в разделах E H этого приложения. При этом использованы леммы разделов B-D. Доказательство основано на методе последовательных приближений ньютоновского типа, разработанном специально для этой цели А.Н.Колмогоровым [6].
А. Метод Ньютона
Метод Ньютона нахождения корней уравнения /(ж) =Oc заданной точностью состоит в замене кривой у = /(ж) касательной к ней в точке с абсциссой Жц, которая считается аппроксимацией корня ж подлежащего определению. Если ж — ЖоI < є, то отклонение кривой от касательной есть величина порядка є2, приближенное значение корня ж і определяется линеаризованным уравнением
Джо) + /'Ocu) (®1 - ®u) = О
и, следовательно, близко к ж с точностью до є2 (см. рис. П34.1).
Итерируя описанную операцию, получаем последовательность очень быстро сходящихся приближений:
\хп+1 - хп\ < С\хп - ж,г_і|2; (П34.2)
следовательно, в п-м приближении
|ж - ж„| ~ є2" \ 246
Глава 34
Рис. П34.1
Этот метод легко обобщается на уравнения в банаховых пространствах1; но в анализе чаще всего приходится иметь дело с полибанаховыми пространствами, и оператор /'(жо) 1 отображает одно пространство в другое. Ситуацию иллюстрирует следующая лемма, которую можно рассматривать как характерный пример. Роль неравенства (П34.2) играет неравенство (П34.4).
Лемма П34.32. Пусть L — оператор, преобразующий функцию f(z), аналитическую в некоторой комплексной области G, в функцию Lf (z), аналитическую в меньшей3 области G — 5. так, что при любом О < S < S0
\Lf\G-s<\f\2G-o-», (П34.4)
где V > О, S0 > 0 абсолютные постоянные. Тогда при любом S' ряд ^s ILVI сходится в G — S', если |/|g < M = M(8') достаточно мала.
Доказательство.
Пусть M1 = S21"+1 HS2 = S3/2,..., Ss+1 = Sl'2, ...,M2= МІ'2,..., Мв+1 = mV2, следовательно, M8 = S2"+1.
1Cm. Канторович [1].
2Эту лемму использовал еще А. Картан [1], статья [1] которого принадлежит к числу первых работ, основанных на применении ньютоновских приближений в теоретическом анализе.
З3десь и далее G — 6 означает множество точек q, принадлежащих G1 но не принадлежащих й-окрестности. Пример оператора L. удовлетворяющего неравенст-df
ву (П34.4) Lf = 1 -j-- Доказательство теоремы о сохранении инвариантных торов
247
Тогда, если Ji < то ? й, < S', ? M8 < 2M1.
Пусть теперь G1 = G, G2 = G1 — S1, ..., Gs+1 = Gs — Ss. Тогда из неравенства \f\o < M1 мы заключаем, что \L8 f\o, < M8, так как из неравенства (П34.4) и |/|gs < Ms можно заключить, что
|?/|о.+1 = ILflatSt < M2S;" < C+2 < S^t1 = Мв+1.
Но, так как ? S8 < S', имеем G8 D G-S' при всех s. Следовательно, в G-S' выполняются неравенства
IXVI < M8, Y, \L°f\ < Ms < 2Мі. я
В. Малые знаменатели
Пусть f(q) — функция на торе Tn, q = (qi, ... , qn) (mod 2тг):
кфО
где (к, q) = fei (/і + • • • + knqn, и пусть uj = [uj1,..., сип) — вектор с иррациональными компонентами такой, что (к,из) ф ко для неравных нулю целых к, ко - Рассмотрим уравнение с неизвестной 27г-периодической функцией g(q):
g(q + Lu)-g(q)=f(q). (П34.5)
Это уравнение допускает «формальное» решение
«<*) = $>е^>, Sb = -A-. (П34.6)
кфО
Сходимость ряда (П34.6) утверждает следующая лемма.
Лемма П34.7. Предположим, что при |Imq>| < р, f(q) является аналитической функцией и что \f(q)\ < М. Тогда при почти любом (в смысле Лебега) векторе и> функция g(q), определяемая рядом (П34.6), — аналитическая, и при |Img| < р — S выполнено неравенство |g((/)| < MS~", и = 2п + 4, если 0 < S < Sq. Здесь S0 > 0 — абсолютная (не зависящая от п) постоянная. 248
Глава 34
Доказательство этой леммы4 основано на использовании элементарных результатов теории диофантовых аппроксимаций. Действительно, результат леммы П34.7 с (Jo = So(n, к) вереи для всех ш, принадлежащих введенному выше множеству Qq(K), для которого К > 0. Обозначим через Q(K) множество точек W0 таких, что
\е{к>ш) - 1| > KN-" (П34.8)
при всех
ш, |ш-ш0| < KN-v
V = п + 2 и всех к, для которых |fe| sC N, каким бы ни было число N. Обозначим через По (-K") множество точек ш, удовлетворяющих неравенству
\ei(k'w)-1\> К\к\~", v = n + 2. (П34.9)
Ясно, что Il(K) С H0(K).
Лемма П34.10. Почти каждая (в смысле Лебега) точка ш0 принадлежит множеству fi(A') с соответствующим К > 0 (и, следовательно, принадлежит Q0(K)).
Доказательство.
Пусть Q — конечная область в пространстве {шц} и
= {wo: — 1| < <5 при некотором w, \ш — шо| < ді-
лено, что тогда мера mes^j^d П Q) sC Cd, где постоянная С зависит только от Q. Вне области IJj, неравенство (П34.8) выполняется.
Но
