Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
В. Топологическая лемма
Пусть теперь А — глобально канонический диффеоморфизм, T — тор р = 0, AT — образ тора T относительно диффеоморфизма А. Лемма П33.8. Торы T и AT имеют по крайней мере 2п точек пересечения (каждая точка берется при подсчете столько раз, какова ее кратность) при условии, что AT определяется уравнением
dp
P = PiQ), щ
< оо. (П33.9)
Кроме того, число геометрически различных точек пересечения по крайней мере равно п + 1. Глобальные канонические отображения
241
Доказательство.
Рассмотрим на ЛТ функцию
x
f{x) = j р(х) dq(x), где X = (р(х), q(x)) Є ЛТ, (П33.10)
где путь интегрирования есть некоторая кривая в ЛТ. Функция f(x) определена корректно, так как интеграл (П33.10) не зависит от пути интегрирования. Действительно, пусть 7 — замкнутая кривая на ЛТ. Тогда
pdq = <р pdq = О,
7 JA-1J
так как А-1 — глобально каноническое отображение, А_17 С Т, а на Tp = 0. Функция f(x) — дифференцируемая функция на п-мерном торе Tn. В качестве таковой она в силу неравенств Mopca1 имеет по крайней мере 2™ критических точек.
Из (П33.10) следует, что df = р(х) dq(x) на ЛТ. В точках пересечения ЛТ с t р(х) = 0 . Это означает, что точки пересечения t с ЛТ являются критическими точками функции f на ЛТ. Наоборот, в силу условия (П33.9) в каждой точке функции f на ЛТ выполняется равенство pdq = 0 при любом dq; следовательно, р(х) = 0, и поэтому критическая точка X есть точка пересечения ЛТ с Т. Лемма доказана. ¦
Следствие П33.11. Торы T и ЛТ имеют 2п точек пересечения, так как их уравнения имеют вид
p = p'(q), p = p"(q) (1^1 <00, Щ <00),
и на T 2-форма dp A dq равна нулю.
Действительно, если dp A dq = О на Т, то преобразование р, q^p-p'{q), q
является каноническим диффеоморфизмом. Этот диффеоморфизм сводит (П33.12) к (П33.9) с p{q) = p"(q) -p'{q).
1Cm. Milrior [1] 2" = hi, где hi — і-е число Бетти. Критические точки не вы-
рождены, так как d2/ = dp Adq имеет максимальный ранг. 242
Приложение 33
Замечание П33.13. В случае п — 1 (отображения кольца) лемма (П33.8) остается в силе без условия (П33.9). Доказательство, использующее теорему Жордана, не распространяется на случай п > 1. Неизвестно, пересекаются ли торы T и ЛТ при п > 1, когда условие (П33.9) не выполняется.
Если в лемме (П33.8) ослабить условия (П33.9), то получается большое число «теорем о возвращении» следующего типа.
Предположим, что начальные значения йі,Ьі осей кеплеровских эллипсов в плоской задаче п тел таковы, что эти эллипсы не пересекаются. Тогда при любом т существуют начальные фазы2 li,gi такие, что по прошествии времени т оси эллипсов в точности вернутся к своим началъньш значениям.
Замечание П33.14. Для леммы (П33.8) (без условия (П33.9)) существенно, чтобы отображение А было диффеоморфизмом, так как даже в случае п = 1 можно построить глобально каноническое отображение так, что T и AT не будут пересекаться.
С. Неподвижные точки
Пусть теперь А — глобальное каноническое отображение частного типа:
А: р, q р, q + и(р) (ш = (wi,..., wn)). (П33.15)
Предположим, что на торе р = Po все частоты соизмеримы:
771 •
Ui(Po) = J^2n' m'i е Z' N е Z' (П33.16) и что «обмотка» невырожденна:
det(gj) ^O. (П33.17)
^ * ' Pa
Теорема П33.18. Каждое глобально каноническое отображение В, достаточно близкое к А (вместе с производными), допускает в окрестности тора р = Po по крайней мере 2п точек3 периода N:
BNx = X.
2Фазы If. gi это углы (mod 2-к); gi определяют положение эллипсов, Ii определяют положение планет на эллипсах.
3Каждая точка берется при подсчете столько раз, какова ее кратность. Глобальные канонические отображения
243
Доказательство.
В силу (П33.15), (П33.16) и (П33.17) отображение An в окрестности тора р = Po представимо в виде
Aw: р, q р, q + а(р), где а(р0) = 0, det ф 0. (П33.19)
Можно положить а(р) = N(ш(р) — ш(ро)).
Близкое отображение Bjv можно записать в виде
BW: (р, q) (р + ?i (р, q), q + а(р) + ?2 (р, q)) = (P, Q). (П33.20)
Рассмотрим точки, которые движутся вдоль радиусов Q = q так,
«(р) + /ЫР, <l) = <»•
Из теоремы о неявной функции следует, что
(П33.21)
1) уравнение (П33.21) определяет тор, который близок к тору р = Po и движется вдоль радиусов;
2) два тора T и BnT имеют уравнения вида
р = p'(q), р = p"(q)-, где
dp' Ikl
< оо
dp" dq
< 00. (П33.22)
Так как отображение Biv глобально каноническое, оно задается производящей функцией вида Pq + В(Р, q). По лемме П33.4 функция В(х) = В(Р(х), q(x)) однозначна в fi.
Рассмотрим теперь ограничение функции В(х) на тор Т. Как дифференцируемая функция на n-мерном торе, она имеет по крайней мере 2й критических точек (см. лемму П33.8). Докажем, что эти критические точки принадлежат пересечению торов T и BnT.
Из формулы (ПЗЗ.З) следует, что
dB = {Q-q)dP + {p-P)dp. где В: х = (р, q) (P(x),Q(x)).
Но по (П33.20) и (П33.21) Q — q = 0 па пашем торс Т. Следовательно, в критических точках функции В на T выполняется соотношение (р — Р) dq = 0, из чего в силу (П33.22) следует, что P = р. щ 244
