Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
2Этот факт является общим для систем с непрерывными собственными функциями (Авец [2]). 146
Приложение 16
Числа вращения П16.3
Пусть (М, ?, (pt) — предыдущая система. Так как M — компактное дифференцируемое многообразие, любой паре точек а,Ь из M можно поставить в соответствие дифференцируемую дугу ab, длина3 которой ограничена некоторым числом А, не зависящим от а и Ь.
Пусть, далее, 71,... ,Jb1 — образующие группы целочисленных го-мологий Hi(M, Ж). Каждый элемент 1к — это замкнутая кривая на М, которую можно предполагать дифференцируемой.
Если a = {iptx I X Є М, 0 ^ f ^ Т} — отрезок траектории, то
его концы связаны кривой ? из семейства ab, введенного выше. Таким образом, 7(T) = a? — кусочно дифференцируемая замкнутая кривая (см. рис. П16.3'). Это означает, что существуют целые числа Tik(T) такие, что
Пусть (ик) — дуальный базис к (1к) первой группы когомоло-гий H1(MiR), т.е. замкнутых 1-форм таких, что
3«Длину» здесь надлежит понимать в смысле некоторой вспомогательной рима-новой метрики на М.
Рис. П16.3'
j(T) = TI1(T)11 + ... + Tikl(T)lkl.
1 при і = к, О при і ф к. Дискретный спектр классических систем
147
Имеем:
Uk = nk(T),
/
/-T(T)
или. иначе,
і
j(7,Wfc) dt + j Uk= nk(T), (П16.4)
о ^
где (7, Wfc) значение 1-формы Uk на касательном векторе 7 к потоку ipt в точке іptx. Так как длина кривой ? ограничена величиной М, получаем:
Iim 1 f ик = 0. (П16.5)
Т-юо і J?
С другой стороны, из эргодичности следует (7.1, гл. 2), что
T
lim Ь I (isик) dt = / (7,uk)dp (П16.6)
1J Jm
для почти всех начальных точек х, и предел не зависит от выбора точки X на траектории.
Таким образом, из соотношений (П16.4), (П16.5) и (П16.6) заключаем, что предел
Пк (T) [ ,J dd
lim — " ¦ —
/ (7>шк) dp =f Pk (П16.7)
Jm
T-j-co T JM
существует при почти всех ж и не зависит ОТ x.
Числа (Tfe = е27"'"% к = 1,... ,oi, являются образующими абелевой мультипликативной группы 9І, которая называется группой чисел вращений.
Ясно, что 5R не зависит от базиса (jk).
Нетрудно видеть, что ipt определяет класс вещественных гомологий 7 = Й1Ъ + • • • + Pb1 Jb1',
числа вращений рк определяют «гомологическое положение» траектории 7. 148
Приложение 16
Введением этого понятия мы обязаны А. Пуанкаре [1], который воспользовался им при изучении дифференциальных систем на торе T2. Дальнейшие исследования систем
X = F(x, у), у = G(x, у)
на торе T2 содержатся в работах А. Данжуа [1] и К. JI. Зигеля.
Доказательство теоремы П16.24.
Заметим, что, по построению, ранг группы чисел вращений меньше или равен oi, равенство достигается только в том случае, если числа вращений линейно независимы над Z. Поэтому достаточно доказать следующую лемму.
Лемма П16.8. Подгруппа дискретного спектра, образованная собственными числами непрерывных собственных функций, есть подгруппа группы чисел вращений.
Доказательство.
Пусть /(ж) — отличная от нуля непрерывная собственная функция диффеоморфизма ipt:
f (VtX) = е2жШҐ(х). Функция / дифференцируема по направлению j(t):
ti(t),df(vtx)) = 2m\e^ixtf(x),
или при t = 0:
(7, df(x)) = 2wiXf(x). (П16.9)
Вследствии эргодичности системы из теоремы 9.12 (гл. 2) следует, что
\f(x) I = const.
Так как функция f(x) непрерывна, мы заключаем, что
I f(x) I = const Ф 0, т.е. с точностью до постоянной
/(яг) = е2,г#(ж),
4Cm. И. М. Гсльфанд, И. И. Шапиро-Пятсцкий [1], Schwartzmaim [1]. Дискретный спектр классических систелі
149
где ф(х) непрерывная действительная функция ф: M —у S1, для которой вследствие (П16.9) выполняется соотношение
(7, <іф) = А.
(П16.10)
Таким образом, сіф замкнутый поток в смысле де Рама5 и который гомологичен замкнутой дифференциальной 1-форме \<1,ф\: ё,ф = = [d'tp] + dh. Следовательно, так как 7 козамкнута (ipt сохраняет элемент объема) и (П16.9) можно записать в виде (П16.10), имеем:
С учетом П16.3 достаточно доказать, что периоды формы [dip] целые. Пусть [0,1] M — дифференцируемая петля в М. Так как форма dф гомологична [сй/>], имеем:
Следствие П16.10 (Арнольд [2], [3]). Пусть V — компактное ри-маново многообразие размерности п ^ 2, не являющееся тором. Если геодезический поток на унитарном касательном расслоении M = TiV эргодичен, то непрерывные собственные функции — константы.
Доказательство.
По лемме П16.8 достаточно доказать, что числа вращений равны нулю. Можно показать (Gysiri [1]), что при сделанных топологических предположениях каждая замкнутая не гомологичная нулю 1-форма ш из TiV является поднятием замкнутой формы, не гомологичной нулю, из V, также обозначенному через ш.
Установив это, запишем числа вращений в виде (П16.7):
где г/ и а элементы объема, соответственно, в V и слое Sn
5G. de Rham. Varietes differentiables. Hermann (Paris) 1955. 150
Приложение 16
Так как
/ V = O,
./S"-1
мы заключаем, что
M=/ (/ (is^V ) = / (/ 70-, W J г? = 0. ./у VS"-1 / -VF \Js"-i / Приложение 17 Спектры і^-систем
(См. теорему 11.5, гл. 2)
