Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
— ос
где тт(х) = мера{? | iptx Є Д О ^ t ^ Т}. С — константа. Приложение 13 Среднее движение перигелия
(См. пример 3.1, гл. 1, и приложение 12)
При создании теории движения больших планет Лагранжу [1] понадобилось вычислить среднюю угловую скорость суммы плоских векторов, имеющих постоянную длину и равномерно вращающихся:
п
17 = Iim \ Arg VeiCiutl, где t,u>k Є К, ак Є С. (П13.1)
<—>+со t '
к=1
Случай п=3
Рис. П13.1. Случай п = 3: начальные положения секторов
Теорема П13.2 (см. Н. Weyl [1-5]). Предположим, что угловые скорости LOk несоизмеримы, т. е. если
(w, k) = 0 и к Є Zn, ток = 0.
(П13.3) Среднее движение перигелия
137
Тогда среднее движение (П13.1) существует, и выражается как барицентрическое среднее угловых скоростей
Ґ2 = piwi + ... +PnVn, Pk > 0, ^Pk = І- (П13.4)
Весовые коэффициенты рк зависят только от длин Kl векторов.
Определим функцию от п положительных переменных р(аі; C12, ¦¦¦ , ап) как вероятность того, что сумма плоских векторов, имеющих постоянные длины а2, ¦¦¦ ,ап и ориентированных хаотически, имеет длину lie MCIICC CKi (см. приводимую ниже формулу П13.12). Тогда:
Pi = P(Kh Kb • • • ,Kl).
(П13.5)
Pn = p(KI> Kl? • • •, K-i|).
В частности, при п = 3, если можно образовать треугольник с длинами сторон Kb Kl, Kb то (формула П.Боля):
її = Літ+^2+A3tl^ (П136)
где Ai углы треугольника.
Случай, когда треугольник со сторонами К|,К|,К| не может быть построен, был рассмотрен Лагранжем [1].
В общем случае р можно выразить через функции Бссссля Jo и Ji:
J
p(ai;a2, ... , ап) = аг / Ji(aip) JJ Jo{akp) dp.
о fc=2
Таким образом, соотношение ^lPk = 1 определяет «теорему сложения» для функций Бесселя. Доказательство теоремы П13.2.
Соответствующая динамическая система П13.7
Рассмотрим динамическую систему (М, //,, tpt), где
M = Tn = {z \ Z = (Z1,... ,zn)}, Zk =е2^ ^Gi
— n-мерный тор, снабженный мерой d? = d,61... d,6n Iitpt — группа трансляций
IPtZ= (Zieiutt,... ,Znei^t). 138
Приложение 13
Определим па M функцию:
п
a(z) = Arg^ \ak\zk, 0 ^ а < 2тг. (П13.8)
к—1
Эта функция разрывна на срезе E = {z \ a(z) = 0} и не определена
п
на так называемом сингулярном многообразии S = {z | X) Iак\%ь, = 0},
к=і
которое состоит из всех возможных состояний замкнутой п-звенной ломаной с заданными длинами сторон |а*|. Тем не менее, функция
?(z) = fa(vtz)
(П13.9)
t=o
аналитична вне S. Предел (П13.1) есть не что иное, как временное среднее функции ?:
п т
Arg^afceiuttIt" = f?(<ptz)dt. (П13.10)
к=і {
Пространственное среднее П13.11
Система (М, p. (ft) является эргодической для всех целочисленно
несоизмеримых UJk (приложение 11). Если бы функция ? была интегри-
*
руемой в смысле Римана, то ее временное среднее ? = Si совпадало бы с пространственным средним по теореме о равномерном распределении (приложение 9):
u = ? = ( ?(z) dp.
Jm
Во всяком случае из теоремы Биркгофа следует, что Ґ2 = ? почти для всех начальных фаз. Исследуем пространственное среднее ?. Из (П13.9) следует, что функция ? линейно зависит от и>. Следовательно, пространственное среднее ? является линейной функцией от <jJ\
?(w) = ploji + ...+ pnojn.
Чтобы вычислить, например, pi положим
oji = 271", oj2 = . . . = ojn = 0. Среднее движение перигелия
139
Имеем:
Р1 = ±?(2ir, 0, ... , 0),
где
1
о
и, согласно (П13.8),
і
2тг, если 11«2\е2жів2 + ... + \ап\е2жів" \ < |ві 0, если J j аг I е27™"2 + ... + I а„ I е27"'0" J > j Oi
,2тг»0„
/t* =
О
Следовательно,
Pi =p(|ai|; Kl, ¦¦¦ , |а»|),
где
р(аі; а2, ... , ап) = мера{;г Є Tn | \a2z2 + ¦ ¦. + anzn\ < |сц|}. (П13.12)
Таким образом, формула (П13.5) доказана.
Полагая W1 = W2 = ... = Wn = 2ж, мы легко получаем ^p* = 1. Существование временного среднего П13.13
Итак, формулы (П13.4), (П13.5) доказаны для почти всех начальных фаз Arg 0,?. Чтобы доказать их для всех начальных фаз, Г. Вейль (Н. Weyl [4], [5]) воспользовался особым приемом.
Определим па торс M функцию:
N(z) = алгебраическое число точек пересечения Zj кривой {<ptz, —2тг < t < 0} с гиперповерхностью ?.
Условимся засчитывать точку пересечения Zj один раз, если ?(zj) > 0, и минус один раз, если ?(zj) < О (см. рис. П13.15).
Можно доказать, что функция N(z) ограничена1. Как следует из соотношения П13.10, соотношение
выполняется равномерно па Т".
1B лагранжевом случае S = OS. Если, кроме того, п = 3, то 5 — «окружность» и S — линейное подмногообразие; следовательно, функция N(z) ограничена.
(П13.14) 140
Приложение 13
Рис. П13.15
Но, поскольку функция N(z) кусочно непрерывна, ее временное среднее существует всюду и равно пространственному (приложение 9).
С учетом равенства (П13.14) доказательство можно считать законченным. ¦ Приложение 14 Пример эндоморфизма с перемешиванием
(См. примечание 8.8, гл. 2)
Рассмотрим на торе M = {(ж, у) (mod 1)}, снабженном мерой dx dy, преобразование1
ір: (ж, у) -» (2х, 2у) (mod 1).
