Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство.
Пусть / инвариантная измеримая функция. Ее коэффициенты Фурье определяются выражением
CLk= I e-2"(k'^f(x)dp. jm
Коэффициенты Фурье функции f(ip(x)) равны
bk = [ e-2iri(k,s-u) .f(x)dn = е2"^-") -ak.
Jm
Инвариантность функции / эквивалентна равенствам 6? = при всех к, т.е. 0? = О или (к, из) Є Z.
Если и) и 1 несоизмеримы, то из второго случая следует, что к = О, и от пуля может быть отличен только коэффициент Фурье ао¦ Таким
1B непрерывном случае: ipt: elw'x- fi2?rj(ic+fui)
2B непрерывном случае из (к, и>) = 0, к Є Z" следует к = U. Те же условия необходимы и достаточны для плотности орбит (теорема Якоби, приложение 1). 132
Приложение 11
образом, функция / — постоянна, и динамическая система (М, р, tp) эргодична (см. 7.2, гл. 2).
Если существует к ф 0 такое, что (к, и>) Є TL, то функция /(ж) = _ е2ттг(к,х) инвариантна и отлична от постоянной; следовательно, динамическая система (М, p., tp) не эргодична. ¦ Приложение 12 Среднее время пребывания траектории в множестве
(См. §7, гл. 2)
Теорема П12.1. Динамическая система (М, р, ipt) эргодична в том и только том случае, если время т(Т) пребывания траектории {ipt% I 0 5? t Ss Т}, выходящей из точки х, в произвольном измеримом множестве А асимптотически пропорционально мере множества А:
т(T) = мера{і I 0 ^ t ^ Т, iptx Є А},
т (T) (П12.2)
Iim m = I1(A) для почти всех х Є М.
T-J-OO 1
Доказательство.
Предположим, что (М, р, ф) — эргодичсская система, А — измс-
* _
римое множество. Выберем в соотношении f (х) = / (см. 7.1, гл. 2) f = Жа (Жа — характеристическая функция множества А). Тогда
T
Жа(щх) dt = І Жа(х) dp = р(А)
jm о
для почти всех X из М.
Наоборот, если соотношение (П12.2) выполняется для всех измеримых множеств А, то динамическая система (М, р, ф) эргодична. Достаточно заметить, что пространство, порожденное характеристическими функциями Ж а, плотно на L±(M, р). Ш
Пример П12.3. Применим теорему П12.1 к преобразованиям торов.
Пусть M = {(е2іТІХі, ... ,е2іТІХ») I X Є Ж™} — n-мерный тор, снабженный обычной мерой р, ip — преобразование
<р: е2іТІХ -> e2*i{x+u), где wet".
Iim —
г—joo t
lim —
T-joo T
134
Приложение 12
Если lu и 1 несоизмеримы, то система эргодична (приложение 11). Следовательно, при почти всех начальных точках е2жгх соотношение (П12.2) выполняется. Иначе говоря, если t(N, А) — число элементов последовательности
e2wix e2iri(x+u) e2iri(x + (N-l)u)
в измеримом множестве А, то
Iim ^^ =M(A) (П12.4)
N->оо 1\
при почти всех начальных точках е2жгх. Доказательство.
Действительно, если множество А измеримо в смысле Жордапа, т. е. если %а интегрируема в смысле Римана, то соотношение (П12.4) выполняется при любой начальной точке. Достаточно использовать теорему из приложения 9, положив / = Ж а- Я Приведенное доказательство допускает непосредственное обобщение на непрерывный случай.
Полученный результат, принадлежащий П. Болю (Р. Bohl [1]), В. Серпинскому (W. Sierpinsky) и Г. Вейлю (Н. Weyl) [1], [2], [3], часто называют теоремой о равномерном распределении по модулю I.1 Это одна из первых эргодических теорем. Исторически она родилась из попыток Лагранжа [1] решить проблему «среднего движения» (см. пример 3.1, гл. 1, и приложение 13).
Переходим к некоторым приложениям2.
Приложение П12.5. Распределение первых цифр в десятичной записи числа 2™. (См. пример 3.2, гл. 1)
В системе счисления с основанием 10 число 2™ записывается в виде
к: • IOr + I • КГ"1 + ... , 0 < к <: 9, 0 5$ /,...<: 9.
Первая цифра в десятичной записи числа 2п есть цифра к в том и только том случае, если
к • IO7' 5$ 2" < (к + 1) • IO'',
Элементарное доказательство см. в работе F.P.Callahan [1].
2Относитсльно других приложений см. N. В. Slater [1]. Среднее время пребывания траектории в множестве
135
или
г + Iog10 k S= Iog10 2 <; г + Iog10 (к + 1).
Обозначая через a = Iog10 2 и через (па) разность между числом па и его целой частью, полученное выше неравенство можно записать в виде
Iog10 к ^ (па) < Iog10 (к + 1).
Но а — число иррациональное; следовательно, динамическая система X —> х + а (mod 1) на S1 = {х (mod 1)} эргодична. Следовательно, числа {(па) \ п Є N} равномерно распределены. В частности, полагая в (П12.4)
A = [Iog10 к, log10(fc H- 1)],
получаем
1^=^ = ,^(, + 1).
Но t(N. А) есть не что иное, как число целых чисел в последовательности 1, 2, ... ,2^-1, десятичная запись которых начинается с цифры к. В обозначениях из примера 3.2 (гл. 1) имеем:
Р7 = Iogi0 (і + у)-
Таким образом, в последовательности первых цифр десятичной записи чисел {2n І п Є Z+} вопреки тому, что подсказывает просмотр первых членов последовательности, семерок больше, чем восьмерок. Это связано с тем, что число a = Iog10 2 = 0,30103 ... близко к 3/10. Замечание П12.6. Поскольку та часть времени, которую точка эргодической системы проводит в области А, пропорциональна мере этой области, естественно поинтересоваться величиной дисперсии. Некоторые результаты получил Синай [1]. Например, пусть (TiV, ?, ipt) — геодезический поток на компактной поверхности V отрицательной кривизны, А — область многообразия TiV, ограниченная кусочно дифференцируемой поверхностью. Тогда разность между средним временем, которое точка iptx проводит в области А, и мерой области А распределена по закону Гаусса и удовлетворяет центральной предельной теореме:
