Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Диаграмма коммутативна. Пусть х и у заданы формулой (П7.1). Имеем:
/^1 (Х,У) = ... , а-1, «о, «1, ••• ^0 /_1(Ж> у) = ••• > a'-l! а0> «15 ••• > ГДе a'i = аг-1>
со со
a-ft а*.
/о Г / \х,у)= (X)-^T' E
oft ' A^i ofc+l ¦*=1 Z fc=0 z Изоморфизм преобразования пекаря и схемы Бернулли 125
т. е.
f о tp о / г(х, у) = <
(Iу) при «о = о,
т. с. О ^ X < 1/2; (2х, |(j/ + l)) при O0 = I,
т. е. 1/2 ^ ж < 1.
Следовательно,
fotpof 1 =<р'. Приложение 8 Несовпадение на всюду плотном множестве пространственного и временного средних
(См. примечание 6.5, гл. 2)
Рассмотрим снова динамическую систему из примера 1.16. Пусть M — тор {(ж, у) (mod 1)}, снабженный мерой dxdy, автоморфизм tp имеет вид
ip(x, у) = (х + у, х + 2у) (mod 1).
На плоскости (х, у) это линейное преобразование с матрицей tp = = (12)- Эта матрица имеет два собственных значения: 0 < A2 < 1 < Ai-Прямая:
!X = S,
у = (X2- IK S Є M
в плоскости (х, у) инвариантна относительно ф. Следовательно, кривая 7:
!ж = s (mod 1), у =(X2-I)S (modi),
на торе M инвариантна относительно (р.
Так как число A2-I иррационально, кривая 7 плотна на M (теорема Якоби, приложение 1). С другой стороны, если т = (ж, у) — точка кривой 7, то
ipn(т) = (Хпх, X%у) (mod 1). Так как 0 < A2 < 1, имеем:
Iim <рп(т) = (0,0).
п-юо
Установив это, возьмем аналитическую функцию f(x, у) = ^2mx на М. Для нее выполняется равенство:
п=О п=О Несовпадение пространственного и временного средних
127
Следовательно, поскольку обычная сходимость влечет за собой сходимость в смысле Чезаро и Iim х\% = 0, получаем:
U-J-OO
JV-I
} (то) = Iim -L J] f(<pnm) = 1.
JV—j-oo Jv —' п=О
Кроме того,
1
7 =I f(x,y)dxdy = [ е2жіх dx = 0.
о
Таким образом, каким бы ни было то на плотном подмножестве 7, мы получаем
/ H # 7,
хотя / — аналитическая функция. Приложение 9 Теорема о равномерном распределении по
модулю 1
(См. 6.6, гл. 2)
Докажем1 теорему Боля-Серпинского-Вейля: пусть (р — поворот окружности M на угол, не соизмеримый с 2ж:
где из — иррациональное число и f — непрерывная функция на M (или, по крайней мере, функция, интегрируемая в смысле Римана). Тогда временное среднее функции f существует всюду и совпадает с пространственным средним.
Доказательство.
1-й случай: f(z) = Zp, р Є Z. Имеем:
Следовательно, временное и пространственное средние совпадают:
M = {z Є С, \z\ = 1}, tp(z) =dz, в = є
при р = 0, при р ф 0.
Так как число из иррационально, мы имеем
вр - 1 ф 0 и \eNp - 1| < 2.
при р = 0, при р ф 0.
2-й случай: / — тригонометрический полином, т. е.
f(z) = (IpZp, pez, z ем,
1Cm. G.Polya, G. Szego [1], с. 73. Теорема о равномерном распределении по модулю 1
129
где только конечное число коэффициентов ар отлично от нуля. Из 1-го случая получаем:
* _
/ (z) = Cl0 = f.
3-й случай: / — действительная непрерывная функция (или функция. интегрируемая в смысле Римана; мы используем в дальнейшем теорему для случая, когда / — кусочно непрерывная функция). Как известно, каждому є > 0 можно поставить в соответствие два действительных тригонометрических полинома Р~ и P+ таких, что
P~(z) < f(z) < P+ (z) для всех Z Є M
и
і (P+(z) -Pe-(Z)) dp < є. Jm
Из второго случая получаем:
. N-1
/ P- dp <; lim ir,f і, jiy'z) <:
JM N ^0
N-1
<; lim sup^ f(<pnz) s; / p+dp
^co N ^ Jm
Следовательно, limsup — liminf < є. Но поскольку число є произ-
*
вольно, временное среднее f (z) существует при всех z. Из (П9.1) следует, что это срсдпсс постоянно, поэтому
/ (z) = 7• и
Полученный результат допускает пспосрсдствспнос обобщение на случай преобразований на торах: временные и пространственные средние непрерывных функций совпадают всюду в том и только том случае, если траектории всюду плотны.
(П9.1) Приложение 10 Приложения эргодической теории к дифференциальной геометрии
А. Авец [1] воспользовался теоремой Биркгофа для доказательства следующего результата.
Если M — компактное риманово многообразие размерности п постоянной кривизны R без сопряженных точек, Д = -VaVct лапла-
D
сиан от функций, то собственные значения оператора Д — неот-
рицательны. В частности,
/ R- г) SC 0. Jm
Если X — векторное поле на М, SX = VnXn,
{Se(X)g)a? = VaX0 + V ?X а, Ric(X) = RapXa X?,
то
J [(п - l){(OXf + |(^(X)g-)2} - ВДІ2 - 2RiC(X)Jf, > 0. Приложение 11 Эргодические преобразования торов
(См. пример 7.8, гл. 2)
Докажем, что преобразования торов (примеры 1.2 и 1.15, гл. 1) эргодичны в том и только том случае, если их орбиты всюду плотны (или: в том и только том случае, если временные и пространственные средние непрерывных функций совпадают всюду).
Пусть M = {(е27Г,:ж\ ... , е2™х") І (жі, ... ,хп Є Mn)} — д-мерный тор, снабженный обычной мерой fi, ip преобразование1:
e2«x ^ е2«(х+с^ где
Теорема. Динамическая система (M, р, (р) эргодична в толі и только том случае, если и> и 1 несоизмеримы: из (к, ш) Є Z, к Є Zn следует, что к = О.2
