Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
Ответ: 2nk> -arctg 6 + 2кт; k9 т є Z.
186
+ - +
О I logb х
Рис. 2.32
2.183. Решите неравенство 2*- б1/х > 10.
¦+ Прологарифмировав исходное неравенство по основанию 2 и выполнив равносильные преобразования, получим
X + \ log25 > 1 + log25; (X - 1) + ^ -1) log25 > 0;
г ч (x-l)(x-log25) 1 --log25j > 0;--- > 0.
Последнее неравенство решаем методом интервалов
8>ис. 2.32). Решениями являются все х из интервалов (О; 1) и og25; +«).
Ответ: (О; 1) u (log25; +*»).
2.184. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у —
— x2 — 4х + 4 и касательными к этому графику, проходящими через начало координат.
¦+ Сначала составим уравнения касательных.
Запишем уравнение касательной к графику у х2 — 4х + 4, проходящей через его точку M(t\ t2 — At + 4). Так как у* — 2х - 4, то уравнение касательной имеет вид у — (2t - 4)(х - І) + t2 - At + + 4, или у — (2* - 4)х - t2 + 4. По условию, начало координат
принадлежит касательной, поэтому О — (2* — 4) • О — *2 + 4, откуда t — 2 или * — —2. Значение — 2 соответствует касательной у — О; точка касания Afj(2; О). Значение f2 — -2 соответствует касательной у — -Зх; точка касания М2(-2; 16).
Рис. 2.33
186
Теперь вычислим площадь искомой фигуры. Она равна сумме площадей криволинейных треугольников OM2K и
OAf1JT (рис. 2.33). Поскольку график функции у •= х2 - Ax + 4
имеет такой вид выпуклости, при котором любая касательная лежит ниже графика, имеем
о о
S0M3K- J «*2 - 4* + 4) - (Sx)) dx - J(*+2)2dx-
- (*+2)
З
-2 -2
° - 2 rt,2
8 г з
-3•5OM1Ir- J(*- 2)2d*-
U2 З
о
8
з-
за-
тт 8 8 16
Итак, искомая площадь равна g + g - -g-.
Ответ: 16/3.
2.185. Найдите все такие числа а, для каждого из которых существует только одно число Ь, такое, что Ъ\ъ + а) — 1.
¦** Рассмотрим выражение о2(о + о) как непрерывную и дифференцируемую на R функцию ftp) - о3 + Ь2а и выясним, при каких а она принимает значение, равное 1, только один раз. Произ-
( 2 л
водная функции равна Зо2 + 2ао, или /'(о) - ЗЫ fr+ gal. В
виснмости от знака а возможны три случая.
1) a > О. Тогда схема изменения знаков производной f'(b) имеет вид, представленный на рис. 2. 34, а.
Так как Д-2а/3) - 4а8/27, а ДО) - О, то значение, равное
1, принимается один раз, если Aa3/27 < 1, т. е. если а < 3/3JA. Но а > О и, значит, в этом случае все а, удовлетворяющие требуемому условию, таковы: О < а < 3/3Ji.
2) о — О. В этом случае f(b) — о3, и функция принимает значение 1 ровно один раз.
3) а < О. Схема изменения знаков f'(b) для этого случая приведена на рис. 2.34, б. Так как f(0) < 1, то значение 1 принимается один раз при всех рассматриваемых а, т. е. при а < О.
Объединяя все три случая, получаем, что заданному условию удовлетворяют все а < 3/3JA (а < 33j2 /2).
Ответ: (—>; 3^/2/2).
2.186. Какие эначения может принимать сумма чисел х и v. если M - (X - 2X4 - х)?
Пусть X + у — а. Перепишем данное равенство как уравнение |а - х\ - (х - 2X4 - х)9 после чего формулируем задачу так: при каких значениях а уравнение \а - х\ -= (х - 2)(4 - х) имеет хотя бы одно решение?
187
а)
-la
О
О
Рис. 2.34
-la З
Раскрыв знак модуля в левой части уравнения, заменим его объединением двух систем
{
а-х = (х-2)(4-ж), 2 < X < 4
и
jc-а = (х-2)(4-х). 2 < X < 4,
равносильным исходному уравнению.
Исследуем каждую систему. Перепишем первую из них в
виде
J а - -х2 + Ix - 8, I 2<х<4.
Нужно определить множество значений квадратного
трехчлена -х2 + 7х - 8 на отрезке [2; 4]. Так как наибольшее и наименьшее значения квадратного трехчлена на отрезке могут достигаться только в точке, соответствующей вершине параболы (если эта точка принадлежит отрезку), или на концах отрезка, то достаточно найти значения трехчлена —х2 Ix — 8 при х, равных 2; 4 и 3,5 (3,5 — абсцисса вершины параболы, она л^жит на отрезке [2; 4]) и выбрать среди них наибольшее и наименьшее. Эти значения таковы: 2 при х — 2; 4 при х =- 4 и 4,25 при X = 3,5.
Итак, первая система имеет решения при 2 < а < 4,25. Аналогично исследуем вторую систему, для чего перепишем ее в виде
J а - X2 - 5х + 8, I 2<х<4.
Найдем область изменения функции fix) — х2 — бх + 8 на отрезке [2; 4]. Поскольку ветви параболы направлены вверх, а точка 2,5 (абсцисса ее вершины) лежит на рассматриваемом отрезке, имеем min f{x) — /(2,5) - 1,76, max fix) - max{/(2); Д4)} -[2,4] [2.4]
-= /(4) = 4.
Итак, для второй системы а может принимать значения из отрезка [1,75; 4].
Окончательно получаем, что исходное уравнение \а - х\ — — (X - 2) (4 - х) имеет решение при всех а є [1,75; 4,25].
Ответ: [1,75; 4,25].
188
КЛАССИФИКАТОР
Часть I
Рациональные уравнения и их системы: 1.016; 1.022; 1.041; 1.047; 1.111; 1.117; 1.150; 1.156; 1.229; 1.235.
Рациональные неравенства: 1.001; 1.007; 1.087; 1.093; 1.109; 1.115; 1.147; 1.153; 1.217; 1.223; 1.232; 1.238: 1.349; 1.355.
Иррациональные уравнения и системы, их содержащие: 1.004; 1.010; 1.025; 1.031; 1.061; 1.067; 1.075; 1.081; 1.097; 1.103; 1.126; 1.132; 1.136; 1.142; 1Л70; 1.176; 1.181; 1.187; 1.205; 1.211; 1.222; 1.228; 1.265; 1.271; 1.281; 1.287; 1.315; 1.321; 1.363; 1.369.
