Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
Вычисляем площадь треугольника OACi SAOAC — 0,5 • ОС * XAC-0,5•3•I -1,5.
Площадь криволинейного треугольника ЛВС вычисляет-
8 _ «г8
ся так: J^0 ~ J<* " 2)3 dx - {^-^
2
- 0,25.
2
Искомая площадь равна 1,5 — 0,25 = 1,25.
Ответ: 1,25.
cos Зх
2.172. Решите уравнение ^ х — sin Зх - 2sin х.
^ Выражение в левой части уравнения определено, если tg х
п
существует и не равен нулю, т. е. если X * 2 *• гДе * €
cos Зх соя X
как
умножив обе его части на sin х, получим:
Переписав левую часть уравнения как -„- и
bin X
cos Зх cos X — sin Зх sin X - 2sin2x; cos Зх cos x - sin 3x sin x +
+ 2 sin2x - 0; cos 4x + 2 sin2x - 0; 2cos22x - 1 + (1 - cos 2x) = 0;
cos 2x(2cos 2x - 1) - 0.
182
Из последнего уравнения находим либо cos 2х — О, т. е. л nfe 1 л
х 3 4 + ~2 f либо cos 2x—2»T-ejt"±6 + ПЛт где * и л — Целые числа.
Заметим, что при каждом из найденных значений tg х определен и не равен нулю, т. е. все эти значения х являются решениями исходного уравнения.
Л к nk к _
Ответ: ? + ~2 • + лл; «, л є Z.
2.173. Множество точек комплексной плоскости определяется услови-ем \z - 3 - 4i| < 1. В каких пределах изменяется Im 2 : Re z?
¦* Множество точек, заданное условием \г - 3 — At < 1, определяет на комплексной плоскости круг с центром в точке (3; 4) и радиусом 1. Такой круг в системе координат хОу задается
неравенством (х - З)2 + (у - 4)2 < 1.
Пусть z — X + Луг тогда Im z — у9 Re г — х, Im г : Re г — у/х. Задача сводится к определению границ, в которых может изменяться соотношение у/х при условии (х — З)2 + (у — 4)2 < 1. Вопрос может быть сформулирован так: при каких значениях с система
I (х-3)2 + (у-4)2<1, 1 у/х -с
имеет хотя бы одно решение?
Последняя система равносильна следующей:
У - сх,
(х-3)2 + (сх-4)2< 1, или
У - сх9
(с2 + I)X2 - 2(3+4с)х + 24 < О.
Эта система имеет решения тогда и только тогда, когда имеет решения квадратное неравенство (с2 + I)X2 — 2(3 + 4с)х + 24 < О.
Так как коэффициент при х2 положителен, то оно имеет решения, если дискриминант квадратного трехчлена в его левой части неотрицателен. Имеем
D/A - (3 + Ac)2 - 24(с2 + 1) - -8с2 + 24с - 15;
D/A > 0 при \ jG)<c<\(6+ Jey.
1 ,- * Im г 1 _ я-
Ответ: J (6- Je)< < 4(6+ JU).
183
2.174. Найдите вое значения параметра а, при которых система
^Og2(Ay + 4а - 3) - 1 + log2(a - х), У - Jx
имеет решение.
^ Заменим исходную систему равносильной ей, для чего преобразуем первое уравнение, используя формулу суммы логарифмов, а также учитывая условие равенства логарифмов с одинаковыми основаниями и область определения логарифмической функции:
4у + 4а - 3 2(а - х), a - X > О,
У - Jx-
Последнее уравнение системы равносильно системе двух условий: ф - X и у > О. Заменив его этими соотношениями и подставив выражение для х в первое уравнение системы, получим
2у2 + 4у +2 - 5 - 2а,
їГ<а, У >0.
Первое уравнение перепишем так: (у + I)2 ~ 2,5 - а. Оно имеет решения только при а < 2,5. Находим ух = -1 ~j2t5 - а , у2 — -1 + ^/2,5 -а. Значения всегда отрицательны, а у2 —
неотрицательны, если -1 + V2,5 _a > 6,'или 72,5 -a > 1 т е a < 1,5.
Выясним теперь, при каких а, не больших 1,5. выполняется условие у\ < а. Имеем у\ - 3,5 - а - 2^2,5 -а. Решаем неравенство 3,5 - a - 2л/2,5 - а < а. Запишем его как 3,5 - 2а < < 2j2,5 —а. Так как a < 1,5, то после возведения последнего неравенства в квадрат получим 12,25 - 14a + 4а2 < 4(2,5 - а),
«ли 4а2 - 10а + 2,25 < 0, откуда 0,25 < a < 2,25. Учитывая] что а < 1,5, окончательно получим 0,25 < a < 1,5.
При этих значениях а найдется пара (х, у), удовлет-зоряющая последней системе, а следовательно, и исходной.
Ответ: 0,25 <а< 1,5.
Вариант 31
2.18J Найдите сумму таких чисел z, что z4 - JS - і. Укажите одно из таких чисел.
Заметим, что уже из самой формулировки задачи можно лоня -ь, что сумму корней уравнения можно найти без вычис-
ления самих корней. Действительно, сумма корней уравнения Z4 - 3 + t — О есть коэффициент перед z3, взятый с противоположным знаком (обобщенная теорема Виета), т. е. Z1 + Z2 + Z3 + + Z4-O.
Приведем и другое возможное обоснование. Пусть Z0 — корень уравнения. Тогда -Zq также является его корнем, поскольку (z0)4 — (-Zq)4, и сумма всех корней равна нулю.
Допустимо и такое решение. Представив правую часть исходного уравнения в тригонометрической форме, получим
z4 — 2 ^COS (~^)+ *sin " 0"T010A0
. "z-4^-(cos(-a+f)+i8in(-a+f))-
где к е {О; 1; 2; 3}.
Далее вычисляем сумму четырех корней, которая равна
нулю.
' Ответ: Zx + Z2 + 2$ + Z4 — О;
одно из таких чисел. 2.182. Решите уравнение -/cos 2*-3sin 2 t — cos t.
¦fr Возведя обе части уравнения в квадрат при условии cos г > О, перейдем к равносильной ему системе
і соа 2* - 3 sin 2t - cos2*, 1 cos r > 0.
Далее проведем равносильные преобразования:
sin2t + 6sin*cost-0, ^\\В™1 Z2r * n cos t > О ' <=> jLsin t + 6cos t « О,
і cos f > О
sin * =¦ О, cos * > О,
tg*--6,
L cos * > О.
Окончательно получим две серии ответов: t — 2лА, k є Z и * =¦ - arctg 6 + 2 icm, т є Z.
Заметим, что в данном случае удобнее использовать равносильные преобразования, нежели выполнять проверку корней, решая уравнение с помощью перехода от исходного к его следствию.
