Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Звавич Л.И. -> "Алгебра и начала анализа" -> 48

Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.

Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Смирнова В.К. Алгебра и начала анализа — M,: Дрофа, 1997. — 2008 c.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка): algebra1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 56 >> Следующая

18 -9jc
2 2
(X +2)
-1 +
18 -9*
2 2 С* +2)
при х>0,
при jc < О.
(Строгим обоснованием недифференцируемости г(х) в нуле служит то, что lim г'(х) и lim г'(х) не совпадают.)
х->+0 x-v-0
Одной из критических точек т\х) является точка 0, так как в ней значение г'(х) не определено.
Найдем корни уравнения г'(х) — 0.
18-9**
Если X > 0, то
2 2
(* + 2)
придем к уравнению лс — 5jcz + 22 ствительных корней.
2
Если X < 0, то
18 -9*' 2 „ 2
1* +2)
+ 1—0. После преобразований 0, которое не имеет дей-
— 1=0. Преобразуя, получим
биквадратное уравнение jc4 + 13 jc2 — 14 — 0, единственный отрицательный корень которого есть число (-1).
Таким образом, критическими точками функции г(х) являются 0 и -1. Найдем знаки производной на каждом из интервалов, определяемых критическими точками. Проверим, что г'(-2) < 0, г'(1) > 0, ґ 1-1/3) > 0. Схема изменения знаков приведена на рис. 2.29. Из этой схемы, а также из непрерывности функции г\х) на Jt следует, что наименьшее значение г(х) принимает при X =« — 1. Искомая точка имеет координаты (—1; 1).
Ответ: (-1; 1).
176
2.162. Найдите все а, при которых касательная к графику функции
jc+ 11 9
у «• sin —2— + 1>5<2 - аг в точке графика с абсциссой а ие пересекает график ии одной из двух функций у — 0,5х + 2 и у = -2/г.
Х+11 р
Пусть fix) >" sin —2— + If5а - а . Так как касательная к
графику функции у — fix) не пересекается с прямой у ж 0,5* + 2, то она ей параллельна, т. е. ее углоиой коэффициент равен 0,5.
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику у ™ f(x) через его точку с абсциссой Xq9 равен значению
производной функции f(x) в точке Xq9 т. е. /'(*о) я 0,5.
Функция fix) дифференцируема на Л, и ее производная
X + 11
равна / ix) e 0,5•COs —2— • Точка X0 должна удовлетворять
условию 0,5•COs 2 — 1, то sin
— 0,5, или cos
х0 + 11
1. Но если
X0+U
X0 + Il
COS
- 0 и значение функции fix)
2 — ¦¦¦, IV охи 2
точке Xq равно 1,5а - а2.
Уравнение касательной, проведенной к графику у = f{x через его точку с абсциссой Xq9 имеет вид у = 0,5х + 1,5а — а2 -— 0,5х0. Но условию, Xq — а9 значит, уравнение касательно]
можно переписать в виде у — 0,5х + а - а2.
а + 11
Из равенства cos—^— — 1 (мы формально подставили вместо Xq) находим, что а может иметь вид 4як - 11, где k є Z,
Воспользуемся теперь тем, что касательная у — 0,5х + а — а не пересекает график у -»—2/х. Это условие означает, что
нение -2/х — 0,5х + а - а2 не имеет решений.
Приведем последнее уравнение к квадратному: 0,5х2 +'
+ (а - а2)х + 2 = 0. Его дискриминант D - (а - а2)2 - 4 » (а
-а2 - 2)(а - а2 +2). Квадратное уравнение не имеет решений
если D< О, т. е. (а - а2 - 2)(а - а2 + 2) < О, или а2 - а - 2 <
(а - а2 — 2 отрицательно при всех а), или -1 < а "< 2.
Поскольку а — 4дА — 11, где к — целое, -имеем неравен ство -1 < 4яА - 11 < 2, откуда 2,5/те < к < 3,25/л. Учитыв что к — целое число, получим к — 1.
Итак, единственным значением а, удовлетворяющим ус ловиям задачи, является 4л - 11.
Ответ: 4я - 11
180
льнаяк
У -У
+ . -
+_
Рис. 2.30
Вариант 29
2*168. Найдите промежутки монотонности функции
у - 0,25дг4 - 2xs + 5,5jc2 - Ьх + In 3.
¦fr Найдем производную данной функции: у' — х3 — бх3 ¦+ + Их - 6. Корни производной можно найти либо разложением на множители, либо с использованием схемы Горнера.
Вычислив корни, представим производную в виде у* -(х - 1)(х — 2)(х - 3). Схема изменения знаков у0 изображена на рис. 2. 30.
Окончательно получаем: функция возрастает в промежут ках [1, 2] и [3, +«>); функция убывает й промежутках (-«>; 1] v [2; 3]. Поскольку функция у непрерывна на R как многочлен, границы интервалов монотонности должны быть включены г ответ.
Ответ: функция возрастает в промежутках [1; 2] и [3; -Ь») убывает в промежутках (-*»; 1] и [2; 3].
2.170. При каких значениях аргумента график функции f(x) =
х + 5
лежит выше графика функции <р(х) *• JbX-S ?
2х + 1
Для ответа на поставленный вопрос необходимо решить
> Jbx — 3 , которое равносильно системе
неравенство
I
х + 5
2x4 1
х + 5
27+1 >5* 5х - 3 > 0.
3,
„ л 5х*-х-4 л
Преобразовав первое неравенство к виду —2x-t-1— < '
найдем его решения (методом интервалов): х є (-°°; -0,8) і KJ (-0,5; 1). Решениями второго неравенства системы являются все X из промежутка [0,6; +«»)_ Вынося решения обоих нера венств на числовую ось, находим решения системы: [0,6; 1).
Ответ: при всех х є [0,6; 1).
2-171. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у — (х - 2)3, у - х/3, у - 0.
¦fr Искомую площадь (рис. 2.31) вычислим как разность площадей треугольника OAC и криволинейного треугольника АБС.
181
Рис. 2.31
Абсциссу точки пересечения графиков у — х/3 и у — (х - 2)3
можно найти из уравнения х/3 * (х - 2)3, однако здесь допустимо использование и другого способа.
Построив эскизы графиков этих функций, мы «увидели», что точка пересечения графиков имеет абсциссу 3. Остается проверить, что ординаты точек обоих графиков с абсциссой 3 совпадают. (Без такой проверки при использовании этого способа решение не может считаться полноценным!)
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 56 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed