Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
Значит, число 2/3 удовлетворяет исходному неравенству при 1 < а < 5.
Окончательно получаем, что уравнение и неравенство имеют только одно общее решение при -1 < а < -8/9; -2/3 < а < 1, а > 5.
От в ет: (-1; -8/9] и (-2/3; 1] и (5; +<»). ¦
Вариант 23
2.133. Найдите г12, если г + 2г - 3 + *.
Пусть z - а + Ы; тогда г - a- W и г + 2г - За- Ы. Исходное равенство примет вид За - Ы — 3 + U Из условия равенства двух комплексных чисел получим За — З, -Ь — 1, откуда а — 1, Ь =- -1. Таким образом, г — 1 - U
Запишем число г в тригонометрической форме: J2 (cos|^-^ м + і ein ^-j j). Согласно формуле Муавра, находим
г12 . ((у2)12(С08(_5.12) + fein(_5.12)) „_64.
Ответ: -64.
Замечание. Можно было не представлять г в тригонометрической форме. Так как г - 1 - U то г2 - -2i, г12 - (а2)6 - (-2)6**6 --64.
2.184, Решите неравенство kgaM&c2- 1X6* - 7)) + log1/3(6x- 7) > 1.
Преобразуем исходное неравенство, приведя все логарифмы к одному основанию 3:
logattS*2 - 1X6* - 7)) - Iog3(6x - 7) > Iog33.
Левая часть неравенства определена, если (Зх2 — 1?6х— 7) > 0 и 6х- 7 > 0, т. е. если X > 7/6.
На множестве (7/6; +«») данное неравенство равносильно
(Зх2-1)(6х-7) 0
неравенству-Ьх-1- > 3»т* е- to "1 > 3- Отсюда Зх2 > 4,
т. е. X > 2/,У§ или X < -2/л/§.
Очевидно, что отрицательные решения не принадлежат множеству (7/6; +<»).
166
Для окончательного ответа необходимо сравнить числа 7/6 и 2/JZ: 2/Л - лДТЗ = 748/36 < 749/36 - 7/6. Так как 7/6 > 2/73, то х > 7/6.
Ответ: (7/6;-И*»).
2.135. Решите уравнение cos х + cos Zx — |sin2x|.
¦t Преобразуем левую часть уравнения:
cos х + cos Зх =- 2cos 2x COS Jt.
Раскрыв знак модуля в правой части уравнения, заменим исходное уравнение совокупностью двух систем:
2cos 2х cos X - sin 2jc = 0, I 2cos 2jc cos jc + sin 2jc e 0, sin 2x > 0; (2) 1 sin 2x < 0.
Запишем систему (1) в виде
cos Jt(cos 2х - sin x) — 0, sin 2x > 0.
7C
9 V
Из уравнения cos x — 0 находим Jt-^+ яА» k є Z. При
таких значениях х получим sin 2х — 0, и эти значения удовлетворяют системе.
Решим уравнение cos 2х - sin х — 0. Имеем 1 — sin х —
- 2sin2x — 0, или (1 + sin х)(1 - 2sin х) — 0, т. е. sin х — -1 или sin X — 0,5.
Пусть sin X — -1; тогда cos х — 0 — такие значения х уже отмечены как решения системы.
_ л 5тс
Пусть sin X =* 0,5; тогда либо х =*¦ ^ + 27Im1, либо х — ~g* +
к
+ 2лт2, где ті и т2 — целые. Если х ж ^ + 27Cm1, то sin 2х —
(л \ 5тс . ,
^ + 47Cm1J > 0; если же х — "g" + 27Cm2» то sin 2х —
/5тс
/57С \
sinl -g- + 4лт2 I < 0.
тс
Из найденных значений х системе, удовлетворяют числа g + + 2•Km9 т є Z.
7С TC
Итак, решения системы (1) имеют ВИД ? + Kk И g + 27С7П; A, m є Z.
Рассмотрим систему (2). Преобразуем уравнение к виду (cos 2х + sin x)cos X - 0, откуда либо сое х - 0, либо cos 2х + + sin X — 0.
Пусть cos X — 0. Тогда и sin 2х — 0, т. е. система несозместна.
167
Пусть cos 2х + sin х = 0. Тогда 1 + sin х - 2sin2x — 0 или (1 - sin xKl + 2sin x) — 0. В случае sinx = 1 имеем cos t e 0, sin2x = 0, т. е. система несовместна. В случае же sint =» -0,5
тс 5я
получим либо X = -g + 2TCn1, либо X =- + 2яп2; nlf л2 є Z.
я /' л \
Если X —Q + 27Cn1, то sin 2х -= sin I - 3 + 47Cn1 J < 0 — эта
5л
серия решении удовлетворяет системе. Если же X =» H
+ 2лп2, то sin 2х — sin -g- + 4лп2^ > 0 — эта серия решений
не удовлетворяет системе.
л
Итак, решения системы (2) имеют вид— g + 2лп, п є Z. Объединяя решения двух систем, получим ответ. .
л tc
Ответ: 2 + ±? + 2лп; А, п є Z.
2.136. Исследуйте функцию у — (0,5)4х — (0,5)3х + х In 2 на монотонность.
^ Продифференпируем заданную функцию на R:
У' - (0,5)^-4-1^0,5)- (0,5)^-3-1^0,5) + In 2, или
у' - In 2 • (-4 • (0,5)4* + 3 • (0,5)3* + 1).
Для определения интервалов возрастания решим неравенство у' > 0, т. е.
-4-(0,5)4* + 3-(0,5)0* + 1 > 0.
Сделаем замену 0,5* - *, где * > 0. Тогда -4*4 + З*3 + 1 > 0; заметив, что t 1 — корень уравнения -4t4 + З*3 +1 = 0, получим (1 - t)(l + t + t2 + 4t3) > 0. Так как для положительных t имеем 1 + * + t2 + 4*3 > 0, то неравенство -4t4 + 3t3 + 1 > О выполняется при * < 1. Значит, (0,5)* < 1* откуда х > 0 (функция 0,5* — убывающая).
Очевидно, что при t > 1 (х < 0) справедливо неравенстве у'<0.
Таким образом, функция у убывает при х < 0 и возрастает при X > 0. Поскольку данная функция непрерывна в точке 0, эту точку следует включить в промежутки монотонности.
Ответ: функция убывает при х < 0
и возрастает при х > 0.
Sx
168
2.137. Изобразите на координатной плоскости множество решений двойного неравенства О < Jx+~2y — Jx + 2 < 1.
¦t Запишем это двойное неравенство в виде системы
Jv+2 < Jx + 2y9 Jx+ 2у < 1 + Jx + 2.
Обе части каждого неравенства — неотрицательные величины. Поэтому каждое из неравенств можно возвести в квадрат, учитывая при этом область существования каждого из выражений.
Для первого неравенства получим:
Jx + 2 < Jx + 2y <*\х + 2>о **Дх>-2.
Для второго неравенства имеем:
Jx-TTy < 1 + JIT2 «р+ *< 1 + *+ 2 + 2j*T2,^ * . \х + 2у>0
^ Jy < 1,5 + Jx + 29 \у>-х/2.
