Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
тс о 1 я 5я
X — ± 2 » и sul * в 4 » т- е* ПРИ х в ±6 ихв±"б**
Вычислим значения функции в критических точках (здесь можно воспользоваться нечетностью данной функции): f^?j "
бЗиг.М234
161
I1- 1 г 1
~ ^2Уе' ^ак как 2*е > е * то
і г
тах /(х) = «Je; min /(х) =
Ответ: ?(/)= ?-|Лё;
Вариант 21
2.121. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлет-
|z + l|
воряющнх условию |г_ 2| > 0,5. ¦Ф Перепишем данное условие так:
Iz +1|
|J32[>0,5 «
|z+ l|>0,5|z-2l, z * 2.
Шусть z = X + fc/; х, у є Д; тогда |(х + 1) + > 0,б|(х- 2) + + їі/і; (х + І)2 + у2 > 0,52((х - 2)2 + і/2); Зх2 + 12х + Зі/2 > 0; (х + + 2)2 + у2 > 4.
Искомое множество представляет собой область, лежащую вне круга с центром в точке (-2; 0) и радиусом 2 и содержащую границу круга, но не содержащую точку (2; 0).
log^ZsU^ -х) 2.122. Решите неравенство ^x + Q 5)(^-1) ^ 0.
Числитель дроби определен при
X + 2,5 > 0 X + 2,5 Ф 1, т. е. при 1,5-х>0
всех X є (-2,5; -1,5) и (-1,5; 1,5)- При тех же значениях х числитель положителен, за исключением точки X — 0,5, когда он обращается в нуль.
Решаем неравенство методом интервалов. Функция /(х) —
log2 + 2^5-х) — (х + 0 5)(х-1) имеет нуль, равный 0,5, и точки разрыва
-1,5; -0,5; 1 (рис. 2.22); ДО) < 0. Знак функции не меняется при X — -1,5 их — 0,5.
Ответ: (-2,5;-1,5) и (-1,5;-0,5) и {0,5} и (1; 1,5).
2.123. Решите уравнение ctg 2х cos 5х + вш х «- 0. ¦Ф Заменим уравнение равносильной системой
і
сое 2х cos бх + sin X sin 2х — 0, 8in2x Ф 0.
Далее получим
сое 2х сое бх + sin X sin 2х — 0;
IG*
-2,5 -1,5 -0,5 0,5 1 1,5 Рис. 2.22
откуда
2 (cos 7х + cos Зх) + I (cos x - cos 3x) -= 0; cos 7x + cos X = 0; cos 4x cos 3x - 0,
cos 4x cos 3x 0 sin2x Ф 0
cos 4x — 0, sin 2x Ф 0,
cos 3x = 0, sin 2x Ф 0.
Решим первую систему- Так как cos 4х « 1 - 2sin22x, то
я лА
при cos 4х — 0 имеем sin 2х Ф 0, т. е. х — g + ~? — решение этой системы.
Решим вторую систему. Находим cos Зх = 0 при х ~ ^ +
я/1 um
+ j t п є Z; sin 2х e 0 при х — ~^ , m є Z.
Отбор корней можно производить, пользуясь тригонометрическим кругом и учитывая, что общим периодом функций у ~ cos Зх и у — sin 2х является 2л. На рис. 2.23 светлыми кружками выделены корни уравнения sin 2х — 0, которые не входят в решение системы.
л є Z.
Окончательно для второй системы получаем х -« ±g + лл,
Ответ: X - g + Y ; х - ±g H ли; А, л є Z.
Рис. 2.23
6*
2.124. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций у-0,5х2-2*-1 я у- 6,5- 1,5-|*-5].
¦Ф Перепишем вторую функцию так:
У
1,5х — 1 при X < Б, 14- 1,5х при x > 5.
Найдем общие точки графиков:
0,5х2-2х-1-1,5х-1, x < 5,
0,5х2 - 2х - 1 - 14 - 1,5х, x > Б
<=>
и
0,5х2 - 3,5х x < 5,
0,5х2 - 0,5х х>5.
= О, <=> х «= О,
- 15 - О, <=>х - 6,
Убедившись, что на [О; 6] общими точками являются
УІ(0; -1); С(6; 5) (рис. 2.24) и что 6,5 - 1,5 •Jx- 5| > 0,5х2- 2х- I1 вычисляем
S-Sabd +Sbcd - J«1,5x-1)-(0,5x2-2x-1)) dx +
О
6 5
+ J((14-l,5x)-(0,6x2-2x-l)) dx - J(3,6x-0f5x2) dx + 5 0
Рис. 2.24
164
6
J(15
+ 0,5x-0,5X ) dx
7 2 1 3
X — гх
)
(
15* ^1*2-!^3
6
- 25,5.
Ответ: 25,5.
2.125. Сколько корвей имеет уравнение 4е"х(ж2 + х - 5) — 1?
Рассмотрим функцию f(x) — 4e~v(x2 + х - 5)— 1. Используя характер поведения показательной и степенной функций
на бесконечности, убедимся, что lim f(x) «= +«>; lim f(x) —¦-I.
X —» —« JT —> +oo
Функция f(x) дифференцируема на R. Имеем /'(jc) — 4e"* x
x Hx2 + x - 5) + 2x 1); / (jc) - 4*x(6 + x - x2); /(x) - О при X =* — 2 и X 3, т. е. это — критические точки функции. Кроме
того, Л-2) --12е2- КО; /(3) - 28е 3- 1 > О.
Учитывая непрерывность Дх), заключаем: в интервале (-©о; -2) функция имеет один корень (монотонно убывает и f(x) > О при X -°s /(-2) < О); в интервале (-2; 3) — один корень (f (-2) < О, f(3) > О); в интервале (3; +») — один корень (/(3) > 0, /(х) < О при X —» +оо). Итак, функция имеет три корня.
Ответ: три корня.
2.126. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
ЗОЇ — 9 - Зх и неравенство log15ax + ^[Zx2 - 6,5ж + 2 + а)< < X имеют только одно общее решение.
¦t Решим данное уравнение:
69 - 3Ox ~ 81 - 54х + 9х2,
J69-30X - 9- Зх <=>
9 - Зх > О
Зх2-8х+ 4 х<3
°*<*|[х-2/3, I х<3;
X1 - 2; X2 - 2/3.
Общими решениями уравнения и неравенства могут быть числа 2 и 2/3 (и никакие другие!).
Выясним, при каких а каждое из этих чисел является решением неравенства.
1) Пусть X — 2. Тогда неравенство примет вид log^ + 3(а + + 1) < 2, что равносильно совокупности систем:
-К а < -2/3,
О < За + 3 < 1, (За + З)2 < а + 1, За + 3 > 1, (За + З)2 > а + 1
-1 < а < -8/9, Г -1 < а < -8/9,
l а > -2/3.
[ а>-2/3,
Га<-1, J [а >-8/9
Итак, число 2 удовлетворяет исходному неравенству при -1 < а < < -8/9 и а > -2/3.
165
2) Пусть х — 2/3. Тогда неравенство примет вид loga + 3(а -
- 1) < 2/3. Так как а—1>0, тоа + 3>1. Неравенство равносильно системе
о-К (a+ 8)"8, J (а-1)3<(а+3)2.
I а-К(а + ЗГ, ^ J (а-1) |а>1 J в>1.
Далее имеем а3 - 4а2 - За - 10 < О; (а - 5)(а2 + а + 2) < 0, откуда находим решения системы: 1 < а < 5.
