Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Звавич Л.И. -> "Алгебра и начала анализа" -> 25

Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.

Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Смирнова В.К. Алгебра и начала анализа — M,: Дрофа, 1997. — 2008 c.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка): algebra1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 56 >> Следующая

¦+ Учитывая, что правая часть уравнения должна быть неотрицательна, возведем обе части уравнения в квадрат. Исходное уравнение равносильно системе
93
б
X
+ 2х-х2 - (rc+ І)2, |2jc2-4 = О, +1 > O o |х > -1
{x-j2)(x + j2) = O,
f(*-V2)<
[X > -1.
Решив последнюю систему, получим jc — -/2.
Ответ:X
1.206. Решите систему уравнений
- 72
8,
9» = 34х
Данная система равносильна системе
(2у - -4-х
2\
Л"» = 3
Используя свойства показательной функции, заключаем, что первое уравнение системы равносильно уравнению х — у + + ху — 3, а второе — уравнению 2у — 4 - х, или х — 4 - 2у. Подставив это выражение для х в уравнение х — у + ху — 3, получим 4- 2у і - - 2у)у -"3, или 2у2 - у - 1 — 0.
Итак, исходная система равносильна следующей:
Г2у2-у-1 = 0, 1* = 4-2j,
Lsr = -0.6.
X = 4 - 2у
Г* = 2. [У = 1.
X = б,
^y = -0,5.
Ответ: (2; 1), (5;-0,6).
1.207. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у — 1 — х, у — О и д — (х + I)2, где X > -1.
^ Заданная фигура выделена штриховкой на рис. 1.27. Она состоит из треугольника BOC и криволинейной трапеции АОВ. Вычислим сначала площадь треугольника: SaBOC " - 0,5•OC-BO, причем ВО — ОС — 1, так как B(O; 1), C(I; О). Значит, S^?oc м 0,5. Площадь криволинейной трапеции определим следующим образом:
>АОВ
f / _^ч2 j <*+ 1)
- J (*+1) dx - *—^
з


1
з-
94
dhc. 1.27
Искомая площадь равна SABOC^SAOB - | +1 - |.
Ответ: 6/6.
1.208. Найдите область определения функции у м
Используя свойства логарифмической функции, запишем неравенства, задающие область определения исходной функции:
¦ 6-х 1о^4^Г2>0*
6-х 1х-2
>0.
Второе неравенство системы является следствием первого, поэтому достаточно решить первое неравенство. При основании, большем I9 логарифмическая функция монотонно возрастает и, значит,
і 6-х 1о*4х^2>0 ~
гб-х х^Г2>0,
6-х
1х-2
>1.
Первое неравенство полученной системы является следстви-ем второго. Поэтому достаточно решить неравенство х_2 > I-
2(3,5 -х)
Приведем его к виду —х-2— > и P0111™ методом интервалов.
На координатной прямой (рис. 1.28) отмечены точка
2(3,5 -х)
разрыва и нуль функции / (х) — —х-2— и Ук&зан знак ФУИ-
06
Рис. 1.28
Рис. 1.29
кции в каждом из полученных промежутков. Функция / принимает положительные значения при 2 < х < 3,5.
Ответ: (2; 3,6).
1.209. Исследуйте функцию f(x) — cos 2х - 2 cos х на возрастание и убывание в промежутке [-я/3; л].
¦+ Найдем производную данной функции и те значения х, ¦ при которых она равна нулю: /'(х) — -2 sin 2х +2 sin х; f'(x) — 0, если -sin 2х + sin X 0, т. е. sin х(1 — 2 cos х) —1 0. Последнее уравнение, очевидно, равносильно совокупности уравнений: sin X — 0, cos X — 0,5. Из первого уравнения получаем х — лА,
Я
ГДЄ Є Z, ИЗ ВТОРОГО X — ± g +2ЯЛ, ГДЄ Л € Z.
На отрезке [-л/3; л] расположены следующие критические точки: -л/3; 0; л/3; л, разбивающие рассматриваемый отрезок на три части. Определим знаки производной /'(х) в каждом из образовавшихся промежутков (рис. 1.29):
,--(-!)-2 »л(-1)+2^(-5)-#-|>0.
Ответ: функция возрастает в промежутках [-л/3; 0] и [я/3; л]; убывает в промежутке [0; л/3].
Замечание. Обратим внимание иа следующее: функция f(x) определена и дифференцируема на A, поэтому точки -л/3 и к нужно рассматривать как критические точки из промежутка [-те/3; л]. Бели бы функция была задана только на промежутке [-л/3; я], то -я/3 и к не могли бы рассматриваться как критические точки, поскольку не являлись бы внутренними точками области определения. В этом случае вопрос о включении концов в промежутки монотонности был бы более сложным.
1.210. При каких значениях а прямая у — ах - Ь касается кривой у=Зх2-4х-2?
¦+ Для того чтобы прямая у — ах— б касалась кривой у — 4х - 2 в точке с абсциссой х0, необходимо и достаточно, чтобы значения обеих функций при х — X0 совпадали и значение а (угловой коэффициент прямой) было равно значению производной функции у — Зх2 - 4х - 2 при х — х0. Производная этой функции равна у' — бх - 4. Значит, искомые значения а должны удовлетворять системе
96
ах0-5 = Зх0-4х0-2,
а - 6х0-4.
Подставив выражение для а в первое уравнение системы, получим
Зх?-3 = О, а - 6х0-4
[
а = 6*0-4
-1. -10,
2.
Итак, искомые значения а равны —10 и 2.
Ответ: при а — -10 и а — 2,
' Вариант 37
0,2 х-0,008
1.217. Решите неравенство ~~5- < О.
х"* - 1Ox -г 25
шф I способ. Перепишем данное неравенство в виде
0,2х-0,008 9 -9— < 0. При всех л: * б выполняется условие (л: - 5)г >
(*-бГ
> 0. Поэтому исходное неравенство равносильно системе
{
0,2 -0,008 < 0,
*
х*5,
или
0,2х < 0,23, х* 5.
Поскольку функция у =0,2* монотонно убывает, неравенство 0,2* < 0,23 равносильно неравенству х > 3. Отсюда и из условия X * б получаем множество решений исходного неравенства: [3; б) и (5; +~).
Ответ: [3; б) U (б; +»). П способ. Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.
Имеем 0,2*- 0,008 - 0 при х - 3; х2- 10х +25-0 при х - 5.
Итак, 3 и б — точки возможной перемены знака функции / (х), заданной дробью, стоящей в левой части исходного неравенства. Определим знаки функции в промежутках, на которые точки 3 и б разделяют координатную прямую. Подстановкой какого-либо произвольного значения из данного промежутка устанавливаем, что знаки функции распределяются по промежуткам так, как показано на рис. 1.30. В самом деле,
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed