Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
Ответ: 100 корней.
1.185. Решите уравнение
5^^-3-5^^-2-56^11 -0
¦+ Преобразуем данное уравнение следующим образом:
к2хл -1 п -Xі + Sx + 2 0 к6х + 6 п 5 —3-5 -2•O — 0,
а затем вынесем за скобку 5бх + 6. Получим
ЬЄх + Є(Ь2хл-Ьх-7_39бхг-гх-42)
Так как 5е* + 6 > 0 при всех значениях х, то
б2*»-6х-7_3.бх*-8*-4_2 _0
т> л -х*-Зх-4
Введем вспомогательную переменную t: 5 — t9
причем t > 0. Тогда t2 — 5 и, следовательно, bt2 —
- б2'*-6*"7 я Отсюда 6г2- St-2-0.
Решив квадратное уравнение относительно tf получим t± < 0, *2 — 1. Значение *і, очевидно, не подходит. Остается t2 — 1.
m _х*-8х-4 - _х*-Зх-4 _о тх
Тогда 5 ™1, или 5 — б . Итак, получаем урав-
нение X2 - Зх - 4 — 0, которое имеет два корня: X1 — -1, х2 — 4.
Ответ: {-1; 4}.
1.186. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями х\у\ — 2, х — 1, х-3.
¦+ Перепишем уравнение х\у\ — 2, раскрыв знак модуля: ху — 2, если у > 0; ху — -2, если у < 0.
Изобразим рассматриваемую фигуру штриховкой на 1 рис. 1.24. Эта область ограничена графиками х — 1, х — 3, у «¦
— 2/х, у — -2/х. Площадь S искомой фигуры можно вычислить следующим образом:
з 3
»- 1(H-U * - ? * - «4 h *и! -
1 1
- 4 (In 3 - In 1) = 4 In 3.
Ответ: 4 In 3.
90
Вариант 33
1.193. Решите уравнение 1Og2C-* — 3) =* -2- Iog2x.
^ I способ. Правая и левая части исходного уравнения опреде-
лены при
Гх-3>0,
\*>о, т"
е. при X > 3.
Рис. 1.24
Для таких значений х имеем log2(x - 3) + log2x -= 2, или log2*(*- 3)-2.
Отсюда по определению логарифма получаем х(х — 3) — 4,
о
т. е. X - Зх - 4 •= О. Это уравнение
имеет два корня: Xj и—1, X2 в 4. Условию х > 3 удовлетворяет только X — 4. ~
Ответ: X ¦¦ 4. П с п о с о б. Данное уравнение равносильно уравнению
log2(x - 3) - log2
X'
Воспользовавшись свойствами логарифмической функции, получим равносильную уравнению систему
X-S = ->
X
х>3.
Решим уравнение системы и проверим, удовлетворяют
ли его корни неравенству х > 3. Имеем х2 - Зх - 4 — О, откуда Xi — -1, X2 ~ 4. Второй корень удовлетворяет исходному уравнению.
1.194. Решите неравенство
+ 2
8 + x
< 9.
(1\_х o 1 как 2х, получим неравенство 2х +23 + х < 9f
или 2х + 8 • 2х < 9, или 2х < 1. Отсюда 2х < 2°; так как функция у — 2* монотонно возрастает, то х < О.
Ответ: (t<*>; О].
1.195* Вычислите абсциссы и ординаты точек пересечения графиков функций j/ — 2 sin + ^ ну» Js
COS X.
91
^ Для вычисления абсцисс точек пересечения графиков решим уравнение
2 ein
Воспользовавшись равенствами
2 sin ^x + |j —2 ^sin х-1 +cosx- 2^j — sin x + cos x- J3 „
перепишем уравнение (*) в виде sin х + »/3cos х — JScoa X9
или sin х — О. Следовательно, х — 7tn, где л є Z, — абсциссы точек пересечения графиков.
Для вычисления ординат точек пересечения подставим найденные значения абсцисс в выражение для функции у —
=» Js cos х: у — J3 cos теп. Возможны два случая: если п четноз,
то cos Ku ¦ 1 и у ™ 73; если л нечетное, то cos лл — -1 и у —
Ответ: абсциссы равны 7сл, п є Z,
ординаты равны V3 или - V3.
1.196. Найдите расстояние от начала координат до касательной к графику функции у — X In х9 параллельной оси абсцисс.
^ Заметим, что если касательная имеет вид у — а, то расстояние от нее до начала координат равно | її-
Поскольку касательная параллельна оси абсцисс, ее угловой коэффициент равен нулю. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. Таким образом, необходимо найти те значения х, для которых у' — О: у' - (х In х)' — In X + 1, In X + 1 - О, In х —-1, X — 1/е. В точке X — 1/е значение производной у' равно нулю,
поэтому уравнение касательной имеет вид у — у или у —
или у =¦= — ~ . Искомое расстояние есть І—Ч — ~ .
Ответ: 1/е,
1.197. При каких значениях а график функции у — Зх - 4х8 и прямая у =* а имеют одну общую точку?
¦Ф Исследуем функцию у — Зх — 4х3. Найдем ее производную yf я -12х2 + 3 и те значения х, при которых производная равна нулю. Отметим эти значения х точками на координатной прямой и определим промежутки знакопостоянства производной (они отмечены знаками «+» и «—» на рис. 1.25). В интервале (-«>; -1/2] функции у (х) убывает и принимает значения, заполняющие промежуток [- 1; +«>). На отрезке [-1/2; 1/2] функция возрастает и принимает значения [—1; 1]. На [1/2; +*») функция убывает и принимает значения (-«>; 1].
92
У —
+ —
Рис. 1.25
Рис. 1.26
График функции у — -Ах3 + Зге схематически изображен на рис. 1.26.
Таким образом, прямая у — а имеет с графиком данной функции одну общую точку при а < -1 или а > 1.
~ Ответ: при а < -1 и а > 1.
1.198. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной графиком фун-
1
X Jx
ше 1.
кции у - —fz. и прямыми у — O9 х -4, х — р (при р > 4), меиь-
По условию, X > A9 т. е.
> О. Значит, искомую пло-
щадь можно вычислить следующим образом:
-і-
dx tjx
4
dx
-1/2 X__
-1/2
2,-^-(-2-4-1'2)
2 2
Поскольку ~7~ > О, имеем 1 - —р < 1. Итак, S < 1, что и JP Jp
требовалось доказать.
Вариант 35
1.205. Решите уравнение Jb + 2х-х2 — х + 1.
