Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Звавич Л.И. -> "Алгебра и начала анализа" -> 23

Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.

Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Смирнова В.К. Алгебра и начала анализа — M,: Дрофа, 1997. — 2008 c.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка): algebra1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 56 >> Следующая

у-Зас + аиу=* 2х2 - бас + 1 при х - 2. Имеем 3 • 2 + а --2-4-5-2 + 1; а—7.
Ответ: при а — -7.
1.173. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у — g je3, у - 3 - х, у * -4х.
Изобразив схематически графики трех функций (рис. 1.21). найдем абсциссы точек -А и С.
86
Рис. 1.21
Для Ai 3-х — -4х, X — -1; для Ci |xs — 3- X9 х - 2.
Решение последнего уравнения находится с помощью рисунка и проверяется непосредственной подстановкой. Можно
также решип уравнение следующим образом: g х° — 3-х;
ха + 8х- 24 - О; х3- 8 + 8х- 16 - (х- 2) (х2 + 2х Ч 4) -+ 8(х - 2) - (х- 2)-(*2 + 2х + 12), откуда х3 -і 8х- 24 — 0 пр* X-2.
Искомую площадь S найдем как сумму площадей треугольника AOB и криволинейной трапецет BOCz
0 0 2|°
SMB- J(3-r-(-4*)) dx - J(8-«Xi 8x + ~f~|_ "1A
2 4.
-1 -1
2
-3.6;
^ ° ? \ * ""J о
0
S — &AOB + ^BOC ™ *»6 + 3»6 — 6-
Ответ: 6.
1.174. Найдите критические точки функции у — 2^3 ein х- cos 2зс и укажите среди них одну из точек максимума.
шФ Для нахождения критических точек функции необходимо найти ее производную:
у' - 2 JU cos X + 2 sin 2х. Производная у' определена при всех действительных х. Решим уравнение у — О. Имеем
2 JU cos X + 2 sin 2х — О; JU cos х + 2 sin х cos х — О;
;о8 X = 0Т
(-COS X = ит
cos*U3 +2sin*)-0«[8inx = _^/2
<=>
X = 2 + ЯП, RGZ1
X = (-1)* + 1? + яА, Ає2.
Для нахождения точки максимума выберем среди критических точек такую, в которой у' меняет знак с плюса на минус.
Рассмотрим функцию в промежутке (О; 2л) (рис. 1.22). Если X - л/3, то у' > О; если х - л , то у' < О. Таким образом, X — я/2 — точка максимума.
87
O S - \ — — ' 2 4 3 2 1
Рис. 1.22

Ответ: критические точки: 2 + (—1) g + JtA1
к
n, k є Z; 2 — одна из точек максимума.
Замечание. Для нахождения точки максимума можно использовать и такой прием. Производная у' — 2 cos х(-Уз + 2 ein х) меняет знак в каждой критической точке. Выбрав две соседние критические точки, например х — -к/2 их— -я/3, определим знак производной в промежутке (-тс/2; -к/3). Для точек этого промежутка cos х > О,
Js •? 2 sin X < О, следовательно, производная отрицательна, а исследуемая функция убывает, т. е. х — --л/2 — точка максимума.
Вариант 31
1.181. Вычислите координаты точки пересечения графиков функций у - л/2х2-4х-5 и у - х- 2.
Абсциссу точки пересечения графиков найдем из уравнения
*І2х2-4х-Ь - X - 2. (*)
После возведения обеих частей уравнения в квадрат получим 2Х2 - 4х - 5 - X2 - 4х + 4, т. е. х2 — 9. Тогда X1 - -3, X2 — 3.
Проверка: при ас — -3 получаем л/2 • (-3)2 - 4 * (-3) - б *
Ф-3 - 2, при X2 - 3 имеем л/2*32-4*3-б - 3- 2.
Корнем уравнения (*), а следовательно, и абсциссой точки пересечения графиков является число 3. Ордината точки пересечения і/ — 3 — 2 — 1.
Ответ: (3; 1).
1.182. Составьте уравнение касательной к графику функции у — 2х2 — - 5х + 1 в точке с абсциссой х0 — 2.
Запишем уравнение касательной к графику функции у —
- у (х) в точке с абсциссой х0: у - у (х0) - у'(х0)(х - х0). Поскольку у'(х) - 4х - 5, у'(х0) - у'(2) - 4-2 - 5 - 3, у(х0) -
— у(2) — 2 • 22 — 5*2 +1 — -1, уравнение касательной имеет вид у - (-1) - 3(х - 2), или у - Зх - 7.
Ответ: у — Sx- 7.
ч
88
Н-х
Ґ
OS X = -1, cos X = 2.
Второе уравнение совокупности не имеет решений, а решения первого имеют вид X — я + 2кп, где п є Z.
-2
-7 6
89
1.183. Решите неравенство 1Og5x +2 > 1-
3-х
¦Ф Перепишем неравенство так: ^0Sbx +2 > ФУНКДИЯ
у -" log6f монотонно возрастает, а ее область определения зада-
3-*
ется неравенством t > О, т. е. 2 > О. В силу указанных условий исходное неравенство равносильно системе неравенств
3-х х + 2>б»
3-х UT2>0'
которая, в свою очередь» равносильна одному неравенству
3-х 6х+ 7
х+ 2 > Преобразовав последнее, получим х + 2 < ®'
Решим это неравенство методом интервалов. Для этого
6х + 7
рассмотрим функцию f(x) — х + 2 ' ^Ри х ~ ~2 функция не определена» а при X — —7/6 принимает нулевое значение. Отметим числа—2 и—7/6 точками на координатной прямой. Они разбивают координатную прямую на три интервала. В каждом из них функция / (х) непрерывна и не обращается в нуль. Определим знаки функции в какой-либо произвольной внутренней точке каждого интервала: ДО) > О, /(-1,6) < О, Д-3) > О. Поэтому в каждом из интервалов функция f(x) имеет знаки, указанные на рис. 1.23. Итак, в интервале (-2; -7/6) функция /(х) принимает отрицательные значения. Все точки этого интервала и являются решениями исходного неравенства.
Ответ: (-2;-7/6).
1.184. Сколько корней имеет уравнение cos 2х — cos дг— 2 - ein2* на отрезке [-10On; ЮОя]?
¦t Преобразовав исходное уравнение, получим: 2 cos2* - 1 —
- COS X — 2 - (1 - COB2X), ИЛИ COS2X - cos X - 2 « О, или (cos х + + 1) (cos X - 2) — О. Из последнего уравнения видно, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
Рис. 1.23
На каждом отрезке длины 2it, т. е. длины, равной периоду функции у — cos х, уравнение cos х — — 1 имеет только один корень. Заданный отрезок состоит из 100 интервалов длины 2к. Ни одно из чисел 100я и —100я, служащих границами заданного отрезка, не является решением уравнения, поэтому исходное уравнение на отрезке [-ДООтс; 100л] имеет 100 корней.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 56 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed