Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
Так как 4 < е2, то 1п4 < 2. » -
Ответ: S =- 1л 4; S < 2
Замечание. Сравнение числового значения площади криво л л ней ной трапеции с числом 2 можно провести, пользуясь рис. 1.11:
4 5
S < «авсп - CD-AD - g • 2 - 2.
1.138. Является ли прямая у — 2- х касательной к графику функции у — X +2е~х? Ответ обоснуйте.
77
^ Для того чтобы прямая, у — 2 - х была касательной к графику функции у — X -г 2е~*, необходимо и достаточно существование такой точки, для абсциссы X0 которой выполняются условия
{
/(X0) = 2-х0> Г txQ) = -1,
где / (х) - X -f 2е х, т. е.
-х.
-х
1-2е ° = -1
-X«
a Jt0 - О,
= 1
Следовательно, такая точка существует.
Ответ: да, является.
Вариант 25
Зх-1
1.145. Решите уравнение (0,4 )' 6 - (2,5)1 + 1.
Перепишем уравнение так, чтобы правая и левая его части представляли собой степени с одним и тем же основанием (так как 0,4 - (2,5)-1). Имеем
Зх-1
(2. 5)
- <2,б)* + \
откуда
3x^1
X+ 1, X--0,5.
Ответ:-0,5.
1.146. Вычислите ординату точки пересечения графиков функций У - log2(x + 1,6) и у --log2x.
^ Сначала найдем абсциссу точки пересечения графиков данных функций:
bg2(x + 1,5) --1Og2X, или log2(x + 1,5) - log2*,
откуда
X X
+ 1,5 >0 1*>-1.
Зх-2 = О,
X = 0,5, X = -2, х>-1,5.
[
78
Следовательно, х — 0,6 — абсцисса точки пересечения графиков. Найден ординату этой точки: у — 1Og2(0,5 + 1,5) = 1.
Ответ: 1.
1.147. Найдите область определения функции
* Jx2 + 2х + 1
У--•
¦Ф Область определения функции найдем, решив неравен-'
CTBO
х2 + 2х+1 А (х+1)2 А
х-1 >о^-^гт->о.
Воспользуемся методом интервалов. Для этого рассмотрим (X+1)2
функцию f(x) — х_ j . Она не определена при х ¦ 1, непрерывна в каждой точке области определения и обращается в нуль при X — —1. Отметим указанные точки на оси Ох; они разбивают область определения на три промежутка (рис. 1.15). Определим знак функции в каждом из них: / (2) > О, / (0) <0, / (-2) < 0.
Ответ: {-1} и (!;+»).
/х2 + 2х+1 г__ Замечание. Если от записи у » J-——j- перейти к записи
к+її
у — j ^ , то при этом озможна потеря точки х — — 1.
1.148. Найдите критические точки функции у — sin 2х + 2 cos х - 2х.
Так как данная функция дифференцируема на R9 то ее сритические точки определяются из условия у* О. Имеем
2 сое 2х- 2 ein х- 2 - О; cos 2х- sin х- 1 - О; 1-2 8in2x - sin х- 1 - О; sin х (2 sin х + 1) - О ;
Г8іп х = 0, i-sin X3O1
|_2 sin х+1 - О ^ Lein X * -0,6
[X = яп, лє Z9 »-(_і,*+1ї+«*. **z-
* TT
Ответ: пп9 (-1)Л+1б + л*; л, ft є Z.
Рис. 1.15
79
1.149. Для каждого а > О найдите площадь фигуры, ограниченной гра-
фиком функции у — —х т ах и осью абсцисс. При каких значениях а эта площадь равна 4/3?
¦fr Найдем точки пересечения графика функции у = -х3 + + ах2 с осью Ох: -х3 + ах2 - 0, х2(а - х) - О, X1 - О, X2 - а.
» Изобразим схематически график функции / (х) = —х3 ¦+
+ ах2 при а > О (рис. 1.16). Для-этого найдем производную
у' ¦¦—Зх2 + 2ах и определим промежутки возрастания и убывания функции (рис. 1.17). Имеем / (х) > О при О < х < а, поэтому искомая площадь S выражается следующим образом:
4 3 Iа 4
«ҐЗ 2. ґ X ах \\ а S-U-X +ах ) л -(_т + _}1
о
Но S — 4/3, или а4/12 = 4/3t откуда а4 — 16. Учитывая, что а > О, находим а = 2.
Ответ: S = а4/12; S = 4/3 при а - 2.
4
1.150. Найдите абсциссы всех общих точек графика функции у — х —
и касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой Xq — -2.
¦fr Запишем данную функцию так:
4
J X-
х-- при X>О,
4
X + - при х<0.
Уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой X0 =» -2 имеет вид у - у (-2) — у'(-2)(х + 2), где
у(-2) — -4. Вычислим у'(т2). Так как-2 < О, то
у'(х) - + JJ - 1 - ^; У'(-2) - О.
1
Значит, уравнение касательной есть у -= —4.
Абсциссы общих точек графика функции и касательной должны удовлетворять следующим условиям:
х<0
или
х>0.
Отсюда находим 2
ИЛИ
{
' + 4х-4 = О, х>0.
т. е. ас — -2 или
Итак, X --2 или х = -2 + 2^2.
Ответ:-2,-2 + 2j2. Замечание. Возможная ошибка: неверное рассуждение о том, что касательная имеет с графиком функции только одну общую точку, т. е. точку касания. При этом дается один ответ х — -2, и ученик удивляется простоте задания. В этом случае задание считается невыполненным.
Вариант 27
1.157. Решите неравенство log0?6(4- х) > 21og0 53 + log06l-
¦fr Перепишем данное неравенство в виде log05(4 —х)> 1Og06 9. Так как у — log0,o* — монотонно убывающая функция на всей области определения, то (с учетом области определения) переходим к системе неравенств
(4-х < 9, Jx > \4-х>0 \х<<
-б,
<=> -б < X < 4.
4
Ответ: [-5; 4). 1.158. Найдите промежутки убывания функции у — х(3 - х2).
Для нахождения промежутков убывания данной функции решим неравенство у' < О:
у - х(3-X2) -Зх- X3; и' - 3- Зх2, 3-3х2<0, х2-1>0, **>!, |х| >1.
¦fr Следовательно, у' < О при х < -1 и х > 1 . Так как данная функция непрерывна, то точки —1 и 1 включаются в промежутки монотонности, поэтому у убывает при X < -1 и X > 1.
