Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Звавич Л.И. -> "Алгебра и начала анализа" -> 19

Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.

Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Смирнова В.К. Алгебра и начала анализа — M,: Дрофа, 1997. — 2008 c.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка): algebra1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 56 >> Следующая

Ответ: О; 1.
1.113. Составьте уравнение касательной кграфику функции у — -Зх2 + + 6х + Ib точке пересечения этого графика с осью ординат. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции, найденной касательной и прямой х 2.
¦Ф Угловой коэффициент касательной, проведенной к заданной параболе в точке ее пересечения с осью ординат, т. е. в точке с абсциссой jc0 — О, равен значению производной квадратичной функции в точке О. Так как f (х)— —Зх2 + 6х + 1, то f'(x)—-6x + 6, откуда у'(О) — 6. Уравнение касательной имеет вид у - f (О) — /'(О) • х, или у — 6х + 1.
При О < X < 2 имеем -Зх2 -г 6х + 1 < 6х + 1, поэтому площадь заданной фигуры можно вычислить так:
¦
2 2
2
J((6x + l)-(-3x2 + 6x+l)) dx - |з*2 dx - jc3|q -8. о о
О т в е т: у — 6х +1; 8.
1.114. Найдите множество значений функции у — 2cos х - sin Ix на отрезке [-я/2; тс/2].
¦Ф I с п о с о б. Функция у — 2 cos х - sin 2х непрерывна при всех действительных значениях х, а значит, непрерывна и во всех точках рассматриваемого отрезка. Для определения множества значений данной функции на отрезке достаточно найти ее наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке. В свою очередь, для их нахождения необходимо вычисл нть значения функции на концах отрезка и в критических точках функции, принадлежащих заданному отрезку, а затем выбрать из полученных значений наименьшее и наибольшее. Эти два числа будут являться границами отрезка, задающего искомое множество значений.
Найдем критические точки функции. Имеем
у' — -2sin X - 2cos 2х — -2(sin х + cos 2х) —
- -2(sin X + 1 - 2 sin2x) - 2(2sin2x - sin x - 1) -- 2(sin X l)(2sin X + 1).
Производная обращается в нуль, если sin х — 1 или sin X — -0,6.
я
Из уравнения sin х — 1 находим х — g + k є Z.
Нетрудно установить, что отрезку [-я/2; я/2] принадлежит одно число из этой серии: х — я/2, совпадающее с одним из концов отрезка.
70
Я
Из уравнения sin х —-0,5 находим х — (-1)71^ + ял, п с Z. Для определения тех целых значений л, при которых указанные х
71 -л5
попадут на отрезок [-я/2; я/2], решим неравенство — ^ ^ t~^)"6 +
_ ,а
к
+ ЯЛ < 9 , ИЛИ —о <
I < ^ +1 j < I. При четных п неравен-
17 1 8 3
ство преобразуется так: ~2 ^ 6n ^ 2* или "7 ^ n ^ 7"
1
удовлетворяет только л — О. При нечетных л получим ~2 <
/ 1\ 1 8 8
< nil-gl < 2» MH "5 < п < 5• Нечетных л, удовлетворяющих последнему неравенству, нет. Таким образом, единственным корнем уравнения sin х — -0,5, принадлежащим заданному отрезку, является к/6.
Вычислим значения исходной функции в точках -я/2, я/6
¦ «її ,(-i) - о; „(I) - 2-1 - (-#) - S#: „(!) - о.
С учетом указанных выше замечаний заключаем, что множество значений функции у — 2 cos х - sin 2х представляет собой
отрезок [0; 8л/3/2].
¦ Ответ: EIy)-[O; 8-У§/2]. П с п о с о б. Определим, при каких а уравнение
2 cos х- sin 2х - а, или 2 cos х(1 - sin х) - а (*)
имеет решение в промежутке [-я/2; л/2]. Множество таких а будет совпадать с множеством значений заданной функции. В указанном промежутке и cos х, и 1 - sin х принимают неотрицательные значения, поэтому а > 0. Возведя в квадрат обе
части уравнения (*), получим 4 cos2 х(1 — sin х)2 ™ а2.
Далее преобразуем левую часть последнего уравнения и оценим ее, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим четырех чисел:
4 cos2 х(1 - sin X)2 - 4(1 + sin х) (1 - sin х) (1 - sin х) х 4
X (1 - sin х) - g(3 + 8 sin х) (1 - sin х) (1 - sin х) (1 - sin х) <
4
4 /8+3 sin x+l-sin x+l-sin x+l-sin xy 4 6_ 27 <s[ 4 J "3'44 - 4 •
Равенство достигается, если 3 + 3 sin x — 1 - sin x, т. e. sin X — -0,5. Последнее равенство выполняется при х — -х/6.
71
Из неравенств а2 < 27/4 н а > О получаем О < а < SjS /2. Учитывая, что функция у — 2 cos х - sin 2х непрерывна, а также то, что она принимает значения О (например, при х — я/2)
и Зл/3/2, устанавливаем, что множеством значений заданной функции на промежутке [-я/2; я/2] является отрезок [0; 3,УЗ /2].
Вариант 21
х + ~2~ ) ™ ®"
Пользуясь формулами приведения тригонометрических функций, получим уравнение cos 2х - cos х — 0.
Приведем два способа решения этого уравнения.
I способ. Используя формулу двойного аргумента для косинуса, приведем уравнение к виду
2cos2x - 1 - cos X — О, или (2 cos х + 1) (cos х - 1) — О.

Отсюда cos x —-4),5, х + 2лл, л є Z, или cos х — 1, х —
- 2яА, k є Z.
2я*
Ответ: x — ~g~ ,AeZ.
П способ. Используя формулу преобразования суммы
x Зх
косинусов в произведение, получим -2 sin 2 ?in =" 0, отку-
x Зх 2лА
да sin 2 = 0, x — 2ял, л є Z или sin ~^ = 0, х =-= —g- ,AeZ.
Заметим, что первая серия ответов (х =* 2яА) полностью включается во вторую.
Замечание. Решив уравнение двумя способами, мы получили разные по форме ответы. Нетрудно убедиться (например, используя тригонометрический крут), что формулы для ответа, полученные в первом л во втором случаях, дают одно и то же множество значений.
1.122. Решите неравенство 41 х < ^| j
Зх + 2
Зх+ 2
і — 2
^ Перепишем неравенство в виде 41 х < 4 . . Так как
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 56 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed