Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Звавич Л.И. -> "Алгебра и начала анализа" -> 18

Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.

Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Смирнова В.К. Алгебра и начала анализа — M,: Дрофа, 1997. — 2008 c.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка): algebra1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 56 >> Следующая

^ Исследуем непрерывную и дифференцируемую на R функцию у — ^-3^ + 2 с помощью производной. Имеем у' —
«¦ Зх2 - 6х - Зх(х - 2); у' - О при х — О и при а: - 2. Учитывая, что - 0,6 < X < 3, построим таблицу монотонности для этого промежутка:
X [-0.5; 0) {0} (0; 2) {2}
У' + 0 — 0
У 2 M -2
(2; S] +
3 Эах. Jt 234
65
Для нахождения абсцисс точек пересечения графика функции с осью Ox разложим многочлен х3 - Зх2 + 2 на множители следующим образом: х3- Sx2 + 2 e х3- х2- (2*2- 2) — - х^х - 1) - (2х + 2Kx -l)-(x-l) (X2 - 2х - 2). Нулями многочлена X3 — Зх2 + 2 являются числа 1 и 1 ± л/3, из которых
отрезку [-0,5; 3] принадлежат 1 и 1 + J3 .
Для более точного построения графика возьмем еще несколько контрольных точек:
X -0,5 0,5 2,5
У 1,125 1,375 -1,125
Строим график (рис. 1.11) и с его помощью определяем, что множеством значений функций является отрезок [—2; 2].
Ответ; JE(y) - [-2; 2].
¦ 1.101. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у — Ax - х2 и прямой, проходящей через точки (4; О) и (О; 4).
Запишем уравнение прямой, проходящей через точки (4; О) и (0; 4). Подставив в уравнение прямой у — ах + Ь координаты заданных точек, получим систему уравнений 4 •0•O + b и 0 — Aa + о, откуда найдем а — -1, 6^4. Следовательно, уравнение прямой имеет вид у — 4 - X.
Абсциссы общих точек прямой и параболы определим из
уравнения 4х - X2 — 4 - х, или (4 - х)(х - 1) — 0. Искомую площадь вычислим как разность площадей криволинейной трапеции AMBC и треугольника ABC (рис. 1.12). Ордината точки А
Для ответа на этот вопрос исследуем функцию fit) с помощью производной. Находим /'(*) — 4t3 - 4t — 4t(t + 1) (t - 1). Если О < t <1, то fit) < О, и функция f it) убывает; если же t > 1, то fit) > 0, и функция / it) возрастает. При t ~ 1 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому г — 1 — точка минимума. Таким образом, минимум функции f (О. я значит, и минимум расстояния между точками А и M при t > о достигается, если t — 1. Итак, точка M имеет координаты (1; 1).
Ответ: M (1; 1).
Замечание. Значение f, при котором достигается минимум функции f (O *¦ t4 — 2t2 + 2,25, можно было найти и без использования
о
производной- При положительных t функция u — t принимает все положительные значения. Сделав подстановку и — t2t получим квадратичную функцию от и вида и2 — Iu + 2,25, минимум которой достигается при и — 1. Этому значению и соответствует t — 1. Отсюда следует, что функция f (t) принимает наименьшее значение при t — 1.
Вариант 19
л/з5-2х-г2
1.109. Найдите область определения функции у =- -IgIc-"
¦Ф Функция существует при одновременном выполнении двух условий: 35 - 2х- х2 > 0 и Ig х * 0. Решениями квадратного неравенства 35 - 2х - х2 > 0, или (х - б)(х + 7) < 0 являются все значения, принадлежащие отрезку [-7; б]. Далее, Ig х Ф 0, если лг > 0 (условие существования логарифма) и х * 1.
Оба указанных условия выполняются одновременно при х є € (0; 1) u (1; б] (рис. 1.13).
Ответ: Щу)-(0\ 1)^(1; б].
2 1
1.110. Решите уравнение sin^jc— ^ sin2x — 0. Укажите корни, принадлежащие промежутку (л/2; 2л).
Используя формулу синуса двойного угла, преобразуем
q
исходное уравнение к виду ein х - sin X COS X — 0, или sin X * х (sin X - cos х) =- 0. Последнее равенство выполняется, если sin х — 0 или БІП X — COS X.
Если sin X = 0, то X — кп9 где п є Z.
Уравнение sin х -= cos х равносильно уравнению tg X= 1,
TC
откуда следует, ЧТО X — ^ + лА, где А € Z.
Отберем корни, принадлежащие интервалу (тс/2; 2л).
Для первой серии решений имеем неравенство тс/2 < тсп < 2тс, откуда 1/2 < п < 2. Единственному целому числу п-1, удовлетворяющему этому неравенству, соответствует корень X — тс.
TC TC
Для второй серии решений получим 2 < 4 + тсА < 2тс, откуда 1 7
д < А < ^ . Последнему неравенству удовлетворяет целое А — 1.
которому соответствует X — бтс/4. Итак, интервалу (л/2; 2тс) принадлежат два корня исходного уравнения: тс и бя/4.
тс
Ответ: тс/і, ? + тсА; А, п € Z.
Промежутку ^;2тс^ принадлежат тс и 1.111. Решите систему уравнений
бтс 4 *
Я*"* = 4У,
6 1 , - + = 1-х 5у
¦+ В результате несложных выкладок из первого уравнения имеем: 2*~V — 22^; х- у — 2у; х — Зі/. Подставив последнее соот-
2 1 11
ношение во второе уравнение, получим у + 5у ™ или 5у ™
11
или у — ~g"; у — 2,2. Отсюда находим х — 6,6.
Ответ: (6,6; 2,2).
1.112. Решите уравнение log5(6 - 5х) — 1-х.
Представим правую часть исходного уравнения как 1Og5O1 ~ х.
Используя условие равенства логарифмов по одинаковым основаниям, заменим уравнение равносильной ему системой
б_б* = 61-*,
Выражение б1 х при всех х положительно.
6-5*>0.
поэтому и равное ему выражение 6 - 5х также положительно: следовательно, условие 6 — 6х > О будет выполнено для всех х," удовлетворяющих уравнению 6 - Ьх — 5і ~ х. Для решения этого уравнения умножим обе его части на 5х. После очевидных преобразований придем к уравнению 52х ~ 0 • 5х + 5 — О, т. е. к
{
69
квадратному уравнению относительно < — б*. Решив его, находим tx — 1, t2 — б, откуда jc1 — О, jc2 —1.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed