Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
р (A) = P {T1 > т} - P {T2 > т} = <гхі W = «г(\+х*)\ Аналогично
р (В) = P {Г 1 > т}. P {T2 < т} = (1 - <гv).
Найдем P (С) = P {T1 > T2}; для этого выделим об-соответствующую неравенству Tx > T2 (абсцисса случайной точки {T11T2) больше ординаты). На рис. 7.5.14 эта область С заштрихована. Имеем:
P (С)-P {(T11 T2)EiC} =
{C)
Рис. 7.5.14 Расставляя пределы в этом
двойном интеграле и записывая его как повторный, получим:
P(O = ? A (*i) I (/*(**) dMd'i
-Mi
= 1
X2
+ ^1 + ^2*
Этот результат можно объяснить достаточно наглядно. Представим себе на оси Ot совмещенпыми (наложенными друг на друга) два простейших потока событий; первый — поток отказов 1-й ЭВМ с интенсивностью (кружочки) и второй — поток отказов 2-й ЭВМ с интенсивностью K2 (крестики) (см. рис. 7.5.15). Вероят-
7 5 ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 211
Рис 7.5.15
физических соображений, касающихся множеств факторов, обусловливающих появление тех или иных значений случайных величин. Если множества этих факторов для двух случайных величин X и Y но пересекаются (или практически не пересекаются), можно допустить, что случайные величины X и Y независимы. Если же эти множества имеют существенную общую часть, то случайные величины X, Y зависимы; только тогда возникает вопрос об условных законах распределения.
Остановимся более подробно на понятии зависимости случайных величин. Не следует ее путать с привычной для пас в математике функциональной зависимостью. Если две величины зависимы функционал ь н о, то, зиая значение одной из них, можно совершенно точно указать значение другой. Если же мы имеем дело с зависимыми случайными величипами, то, в общем случае, зная значение одной, можно только указать закоп распределения другой. Такая зависимость называется вероятностной (или стохастической). Зависимость между случайными величипами может быть более или менее теспой: от полного ее отсутствия, через разные степени вероятностной зависимости, вплоть до жесткой, функциональной зависимости, когда,
пость того, что первое после J = O событие из «потока крестиков» придет раньше, чем первое из «потока кружков», с достаточной очевидностью равна доле, которую составляет интенсивность K2 «потока кружков» в общей интенсивности K1 + K2 обоих потоков. >
Вернемся к вопросу о зависимости и независимости случайных величин. Мы знаем, что для независимых случайных величин
/(*. у) = /і(*)'М0)\
а отсюда следует, что условная плотность распределения 1г(у\х) случайной величины Y равна «безусловной» плотности /2(*/). На практике заключение о зависимости или независимости случайных величии делается, как правило, не путем сравнения условных законов распределения с «безусловными», а исходя из других, по большей части
212
ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
зная значение одной с. в., можно в точности указать значение другой.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример независимых случайных величин. Опыт состоит в том, что два стрелка, не сговариваясь, стреляют каждый по своей мишени. Случайная величина X4 — абсцисса точки попадания первого стрелка; с. в. X2 — абсцисса точки попадания второго; эти случайные величины можно считать независимыми, так как причины, обусловливающие появление того или иного значения каждой из них, различны.
Пример функционально зависимых случайных величин. Опыт состоит в том, что техническое устройство работает в течение какого-то времени т; время от времени в нем могут возникать неисправности. Устранение одной неисправности обходится в определенную сумму (а рублей). Случайная величина X— число возникших неисправностей; случайная величина Y — сумма, затраченная на их устранение. Между случайными величинами X и У существует функциональная зависимость Y = аХ.
Примеры случай ны х величин, связанных вероятностной зависимостью.
1. ЭВМ работает в течение одного года; св. X — число отказов ЭВМ за этот период; св. Y — стоимость затрат, связанных с поддержанием ЭВМ в работоспособном состоянии в тот же период. Очевидно, что случайные величипы X и У зависимы; при увеличении X случайная величина У также проявляет тенденцию к увеличению, но связь между X и У не жесткая, не функциональная.
2. Св. X — число действующих скважип на месторождении нефти; У — количество нефти, добываемой в единицу времени на этом месторождении. Зная значение одной из этих случайных величин, нельзя указать точного значения другой; можно лишь утверждать, что чем больше будет действующих скважин, тем вероятнее, что будет добыто большее количество нефти.
3. Ранее рассмотренные нами случайные величины: X — рост человека и У — его вес — также связаны вероятностной зависимостью. Эта зависимость не является функциональной, хотя и существует всем известная эмпирическая формула, связывающая вес человека У (кг) с его ростом X (см): У = X—100.
7.6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
213
Эта зависимость, как нетрудно убедиться, справедлива лишь в среднем, а в конкретных случаях от нее наблюдаются более или менее значительные отклонения. Величины X и У связаны вероятностной зависимостью.
