Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Надо из всего массива опытных данных отобрать те, для которых рост приближенно равен х « 180 (см), и для
этой группы данных приближенно построить плотность распределения веса (о том, как это делается, подробнее мы будем говорить в гл. 11).
./^ыО^оГ/ХГыЛ Пример 5. Пользуясь гео-
~\уї \У2 |у|' метрической интерпретацией ус-
ловной п. р., найти /а(у1я) и Рис. 7.5.8 fi(z\y) для пары случайных ве-
личин (X1 Y)1 рассмотренных в примере 2 данного пункта, и сравнить с теми результатами, которые получаются по формулам (7.5.20).
Решение. Поверхность распределения J(X1 у) имеет вид, показанный на рис. 7.5.4. Сечение этой поверхности плоскостью, параллельной плоскости fOx и отстоящей от нее на расстоянии у, имеет вид прямоугольника, показанного на рис, 7,5,8; подобная си фигура представ-
7.5 ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 207
л нет собой кривую равномерного распределения. Следовательно, условная п. p. )\(х\у) является постоянной на участке (— (a/V2 — |у|; +(а/У2— Iг/1)) (условное распределение равномерно). Исходя из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения, получим выражение для условной плотности распределения:
U (х\у)-
(0 _ при \х\>а/У2-\у\\
- 1/[2(в//2-Ы)] при _(e//2-|j,|)<
I <x<(a/V2-\y\).
Аналогичное выражение можно записать и для другой условной п. р.:
[0 _ при \y\>a/V2-\x\,
- l/[2(a//2-|*l)l при -(а/У2-\хи<
\ <у<{а/Уг-\х\). >
Пример 6. Точка (X1 У), изображающая объект на круглом экране радиолокатора, распределена с постоянной плотностью в пределах круга К радиуса г с центром
ftx9y)
Рис. 7.5.9 Рис. 7.5.IO
в начале коордипат (рис. 7.5.9). Записать выражение совместной плотности }(ху у). Найти плотности fi(x), U(y) отдельных величин, входящих в систему (X1 Y)1 а также условные плотности ft(x \у), }г(у\х), построить их графики. Определить, зависимы или независимы случайные величины X и У. Найти вероятность того, что расстояние от точки (X1 Y) до центра экрана будет меньше T1.
203 ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
2 Yr2 - .
J Л/
при |дг|<г,
График плотности fx(x) показан на рис. 7.5.11. Аналогично получим выражение для плотности U(y):
U(y)-2lfi*-y2/{nr*) при IyI <г, Условную плотность fi(x\y) на-Рис'7 511 ходим по формуле (7.5.19), имея
в виду, что /8 (tf) 8^O:
Zi(^Iy)"—/(*, »)//»(!,)—1/(2^-Jf1) при \x\<1r*-if Аналогично:
Mj/U)= 1/(2Vr2-*2) при IyI <1г*-х\
Условная плотность распределения J1[Xlу) при определенном значении у{уг<гг) будет представлять собой плотность равномерного распределения на участке (—Yr2 — я2; Уг2 — я2). График условной плотности /і(я|у) при у = г/2 показан на рис. 7.5.12.
Так как іх(х)Ф fi{x\y), то случайные величины X и У зависимы.
Решение.
/ІХ,Й"І0 нри {х,у)<?К.
Поверхность распределения показана на рис. 7.5.10; она имеет вид прямого кругового цилиндра радиуса г, стоящего на плоскости хОу, центр основания которого совпадает с началом координат. Так как объем цилиндра должен быть равен единице, то его высота ^ — !/(лг2). Следовательно,
(1/(лг2) при X2 + у2 <г2; /(*itf)-|0 при х2 + у2>г2.
Найдем плотность j\(x) по формуле:
OO
/і (*) - I /(*. У) dy =
7.5. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 209
Вероятность того, что точка (X1 Y) на экране радиолокатора будет находиться не более чем на расстоянии T1 от центра экрана, равна вероятности того, что произойдет событие {X2 + Y2 < г\}, т. е. случайная точка (X1 Y) будет принадлежать области Dt — кругу радиуса И, центр которого совпадает с центром экрана (рис. 7,5.13). Эту вероятность проще всего подсчитать, пользуясь понятием «геометрической вероятности», введенной в п. 2.2: искомая вероятность
P {(X1 Y) GO1J = P {X2 + Y2 < г\} - nr\/(nr2) = г\/г2. >
Пример 7. Рассматривается совместная работа двух ЭВМ. Случайные величины T11 T2 представляют собой, соответственно, время безотказной работы первой ЭВМ
и время безотказной работы второй; обе ЭВМ выходят из строя независимо друг от друга. Каждая из случайных величин Ti1 T2 имеет показательное распределение с параметрами K11 K2 соответственно. Написать выражение совместной плотности J(Ii1 t2). В начальный момент * = 0 обе ЭВМ работают.
Найти вероятности следующих событий:
А = {в течение времени т после начала работы обе ЭВМ
В = {в течение времени т после начала работы первая ЭВМ будет продолжать работу, а вторая выйдет
С = {вторая ЭВМ выйдет из строя раньше, чем первая).
Решение. Так как величины Ти T2 независимы, их совместная плотность f(th ?2) = /1(^1)/2(^), где
Рис. 7.5.12
Рис. 7.5.13
будут продолжать работу};
из строя);
(«i>0); (*.>0).
240
ГЛ 7 СИСТЕМА СЛУЧ\Ш1ЫХ ВЕЛИЧИИ
Это выражение обращается в нуль в области, где хотя бы один из аргументов t2 отрицателен, т. е. вне первого квадранта К плоскости Z1Of2 плотность j(th I1) равна нулю, а внутри его выражается формулой:
У== 11
(Z1 > 0, /2>0).
Находим P[A) = P {T1 > т; T2 > т}. Так как события {T4 > т), {Г2>т} независимы, то
